Численные методы в задачах управления. Путин С.Б - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таблица 2.1
x y
y∆
y
2
∆ y
3
∆ y
4
∆ y
5
∆
x
0
y
0
0
y∆
0
2
y∆
0
3
y∆
0
4
y∆
0
5
y∆
x
1
y
1
1
y∆
1
2
y∆
1
3
y∆
1
4
y∆
x
2
y
2
2
y∆
2
2
y∆
2
3
y∆
x
3
y
3
3
y∆
3
2
y∆
x
4
y
4
4
y∆
x
5
y
5
В таблице 2.1 приведены конечные разности до k = 5.
Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
...
!3
)2()1(
!2
)1(
)()(
0
3
0
2
00
+∆
−
−
+∆
−
+∆+== y
qqq
y
qq
yqyxPxy
n
)(
!
)1(...)1(
...
0
xRy
n
nqqq
n
n
+∆
−−−
+ ,
где hxxq /)(
0
−= .
В этой формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы разностей. Остаточный член
)(xR этой
формулы имеет вид
)(
)!1(
)(...)1(
)(
)1(1
sf
n
nqqq
hxR
nn
n
++
+
−
−
=
,
где
s
– некоторая точка промежутка, содержащего все узлы интерполирования
x
и точку
i
x .
Первая формула Ньютона используется для интерполирования и экстраполирования в точках
х, близких к начальной
точке таблицы
0
x .
Для точек
х, близких к конечной точке таблицы
n
x используют вторую интерполяционную формулу Ньютона:
...
!3
)2()1(
!2
)1(
)()(
3
3
2
2
1
+∆
+
+
+∆
+
+∆+==
−−− nnnnn
y
qqq
y
qq
yqyxPxy
)(
!
)1(...)2()1(
...
0
xRy
n
nqqqq
n
n
+∆
−
+
++
+
,
где hxxq
n
/)( −= .
Остаточный член этой формулы
)(
)!1(
)(...)2()1(
)(
)1(1
sf
n
nqqqq
hxR
nn
n
++
+
+
+
+
=
.
Во второй формуле Ньютона используется нижняя наклонная строка конечных разностей (см. табл. 2.1).
Для неравноотстоящих узлов интерполирования
hxx
ii
≠
−
+1
используется интерполяционная формула Лагранжа
∑
≠
+−
+−
−−−−−
−−−−−
==
n
i
niiiiiii
nii
in
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
yxLxy
0
1110
1110
)(...)()(...)()(
)(...)()(...)()(
)()(
с остаточным членом
)(...))((
)!1(
)(
)(
10
1
n
n
xxxxxx
n
sf
xR −−−
+
=
+
.
Выражения
)(...)()(...)()(
)(...)()(...)()(
)(
1110
1110
)(
niiiiiii
nii
n
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−
−
−
−
−
=
+−
+−
называются коэффициентами Лагранжа.
Иногда бывает полезным для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа
относительно линейной подстановки: если
batx
+
= ,
batx
jj
+=
, ),0( nj = , то )()( tLxL
n
i
n
i
= .
В случае равноотстоящих узлов имеются таблицы лагранжевых коэффициентов.

Страницы