Численные методы в задачах управления. Путин С.Б - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4. Что такое узлы интерполяции?
5. Чем отличаются первая и вторая формулы Ньютона?
Литература [1, c. 46 – 84]; [3, c. 497 – 540]; [6, c. 149 – 165].
Лабораторная работа 3
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Цель работы: Получение навыков использования аппроксимационных формул.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Задача приближения функции заданного вида
)(xfy
=
к ряду из n точек ),(
ii
yx сводится к выбору таких
параметров функции
)(xf , при которых значение функции )(xf в точках
i
x не слишком сильно отличается от заданных
значений
i
y , т.е. разности )(
ii
xfy − должны быть малы. Для оценки указанных разностей используется метод
наименьших квадратов, согласно которому наилучшее приближение функции достигается при минимуме суммы
квадратов разностей:
()
∑
=
=−
n
i
ii
yxf
1
2
min)( .
Считая, что функция )(xf имеет n параметров ,...,,,
21 n
aaa т.е. )...,,,,()(
21 n
aaaxfxf
=
, получаем задачу о
нахождении минимума функции нескольких переменных. Такая задача решается путем приравнивания нулю всех
частных производных искомой функции по переменным
,...,,,
21 n
aaa
()()
()()
()()
.0
...,,,,
..........................................................
..........................................................
;0
...,,,,
;0
...,,,,
1
2
21
2
1
2
21
1
1
2
21
=
∂
−∂
=
∂
−∂
=
∂
−∂
∑
∑
∑
=
=
=
n
n
i
in
n
i
in
n
i
in
a
yaaaxf
a
yaaaxf
a
yaaaxf
Если приближающая линия представляет собой прямую bxabaxf
+
′
=
),,( , то имеем систему двух линейных
уравнений
=+
=+
∑∑∑
∑∑∑
===
===
.1
;
111
111
2
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
ybxa
yxxbxa
Для аппроксимирующей линии параболического типа
cbxaxcbaxf ++=
2
),,,(
.
Получаем систему трех линейных уравнений
=++
=++
=++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
====
.
;
;
1111
2
111
2
1
3
1
2
1
2
1
3
1
4
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
i
yiсxbxa
yxxсxbxa
yxxсxbxa

Страницы