Численные методы в задачах управления. Путин С.Б - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Формула прямоугольников. Если считать, что подынтегральная функция на каждом элементарном
участке интегрирования постоянна и равна значению
const)(
=
xf на одном из концов участка, то получим формулу
правых или левых прямоугольников.
Формула прямоугольников:
•
правых
∑
=
⋅=
∫
n
i
b
a
i
xfhdxxf
1
)()( ;
• левых
∑
=
⋅=
∫
n
i
b
a
i
xfhdxxf
0
)()( .
Если в качестве значения функции принимать ее значение в середине интервала интегрирования, получим
модифицированную формулу прямоугольников:
∑
−
=
+⋅=
∫
1
0
)2/()(
n
i
b
a
h
i
xfhdxxf .
Остаточный член во всех этих формулах имеет первый порядок, т.е. пропорционален первой производной )(xf
′
.
Геометрическая интерпретация методов прямоугольников заключается в том, что площадь под интегрируемой
кривую заменяется суммой площадей прямоугольников (рис. 4.1).
f (x) f (x) f (x)
0 a b X 0 a b X 0 a b X
а) б) в)
Рис. 4.1
Формула трапеций. При Интерполировании кривой )(xf линейной функцией получаем формулу трапеции:
=−
++++
+
=
∫
b
a
n
n
Ryyy
yy
hdxxf ...
1
)(
21
0
Ry
yy
h
n
i
i
n
−
+
+
∑
−
=
1
1
0
2
,
где
)(
12
)(
2
sf
hab
R
′′
−
=
,
[]
bas ,∈ – остаточный член.
Формула трапеций дает точное значение интервала, когда подынтегральная функция линейна, так как при этом
0)( =
′′
xf .
Геометрически формула трапеций осуществляет замену площади под подынтегральной кривой суммой площадей
трапеций, высоты которых совпадают со значениями функции
)(xf в точках
i
x ,
ni ,1=
(см. рис. 4.2).
0
x
1
x
2
x
3
x
n
x
x
)(xf
a
b
Рис. 4.2

Страницы