ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Введение
Вариационная формулировка как средство математического представ-
ления физической теории часто рассматривается в качестве самого эле-
гантного и экономичного (в духе принципа экономии мышления Маха
(Е. Mach)) представления, по крайней мере, для физических теорий, не
претендующих на описание диссипативных процессов. Классическая ме-
ханика Лагранжа и Гамильтона является великолепным образцом теории,
реализованной с помощью вариационного описания. Наконец, следует от-
метить, что вариационные принципы были положены в основу теории
электромагнитного и гравитационного поля в [1].
Механика континуума, являясь классической теорией поля, не может
быть исключением: исследование обобщенных симметрии и инвариантных
групп для функционала действия есть, по-видимому, не только самое
мощное средство проникновения в сущность самой механики континуума,
но и регулярный метод вывода инвариантных интегралов нелинейной ме-
ханики, которые часто (как об этом убедительно свидетельствует опыт ме-
ханики разрушения) могут иметь и важное прикладное значение.
Представленный материал располагается в следующей последователь-
ности: сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упруго-
сти в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего эле-
менты теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] по-
лучена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной
вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариацион-
ных симметрий даются канонические определения всех важнейших век-
торных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необхо-
димые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелиней-
ном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал
действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариа-
ционных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рас-
сматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого
пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагран-
жиану физического поля не изменяет условий стационарности действия,
хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о
лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установ-
ления степени определенности канонических тензорных полей, входящих
в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохране-
ния. В заключительном разделе работы приводится полная теория лагран-
жиана пустого пространства для -мерного многообразия (включая четы-
n
3
