Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

130
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
Отметим, что из определения автомодельной переменной ξ следует, что
ξ
1
= ξ
1/γ
ξ
3 −δ/γ
. Устранив таким образом переменную ξ
1
и учитывая систе-
му уравнений (70), на основании которой можно исключить производные
ρ
0
, ι
0
, запишем соотношение (66) для g
33
вформе
2γ
2
g
33
= ξ
32(β−αδ/γ−1)
ξ
2α/γ+ω
"
(αδ − βγ)
2
ρ
2
∓
√
D
∗
ρ cos ι
#
. (71)
После этого, определив g
33
, можно следующим образом найти выраже-
ние для σ
3
. Из анализа первых двух уравнений системы (12) можно сделать
вывод о том, что сумма σ
3
/2k +ln
√
g
33
может зависеть только от коорди-
наты ξ
3
:
σ
3
2k
+ln
√
g
33
= f(ξ
3
). (72)
Тогда последнее уравнение этой системы позволяет заключить, что
∂
∂ξ
3
f(ξ
3
) − ln
√
g
=0. (73)
Воспользуемся далее соотношением для определителя метрического тен-
зора (68), устраним в нем переменную ξ
1
(выразив ее через ξ и ξ
3
) и, инте-
грируя (73), установим вид функции f(ξ
3
):
f(ξ
3
)=(3β + δω − 1+δ(2 + µ)/2) ln
ξ
3
+const. (74)
Таким образом удается определить главное напряжение σ
3
в области
автомодельного решения:
σ
3
=2k ln
ξ
33β+δ(ω+1+µ/2)−1
g
−1/2
33
+const. (75)
Остальные главные напряжения определяются в соответствии с равен-
ствами
σ
1
= σ
2
= σ
3
+2k. (76)
Отметим, что, согласно (75), главное напряжение σ
3
зависит от ξ, ξ
3
,
ι и ρ. Численно анализируя систему (70), можно получить зависимости
ι = ι(ξ),ρ= ρ(ξ) и тем самым выразить главное напряжение σ
3
только
через переменные ξ и ξ
3
. Мы будем избегать прямого анализа системы (70)
и в целях простоты ограничимся лишь минимальным набором параметров,
определяющих форму автомодельного решения.
Прежде всего, удобно, используя (75), подобрать такую величину, кото-
рая зависела бы только от автомодельной переменной ξ:
σ
3
− k
4β +2δω +2αδγ
−1
+ δ(2 + µ)
ln
ξ
3
=
= −k ln
ξ
2α/γ+ω
2γ
2
"
(αδ − βγ)
2
ρ
2
∓
√
D
∗
ρ cos ι
#
+const.
(77)
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы