Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

18 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы
Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений
так, чтобы выполнялось равенство
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k.
Последнее условие означает, что главное напряжение σ
3
является либо
наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением.
Так как l, m, n — ортонормированный базис, то
l ⊗l + m ⊗m + n ⊗ n = I, (1.6)
где I — единичный тензор.
Учитывая (1.5), (1.6) и уравнение ребра призмы σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k,
получим:
σ =(σ
3
± 2k)I ∓ 2kn ⊗ n. (1.7)
Таким образом, тензор напряжений определяется скалярным полем σ
3
и единичным векторным полем n.
Уравнение равновесия divσ = 0 после подстановки в него разложения
(1.7) можно представить в следующем виде:
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (1.8)
Следовательно, задача о равновесии тела, напряженное состояние ко-
торого соответствует ребру призмы Треска, формально статически опре-
делима (поскольку имеется ровно три уравнения для определения трех
неизвестных: собственного значения σ
3
и, например, двух углов, задающих
ориентацию единичного вектора n), если граничные условия заданы в на-
пряжениях. Уравнения равновесия могут быть рассмотрены независимо от
кинематических уравнений.
19
19
По поводу термина ”статически определимая задача” и смысла, который в него вкладывается раз
ными авторами см. [3], с. 158-159, с. 278-280. В известной книге [4] (с. 135) статически определимыми
называются такие задачи, когда имеется полная система уравнений и граничных условий для опреде
ления напряженного состояния (притом независимо от деформаций). В [4] (с. 259) используется также
термин ”локально статически определимая задача”.
Термин ”статически определимая задача” был введен Генки в 1923 г., чтобы охарактеризовать такие
случаи, когда независимо от граничных условий имеется столько уравнений, сформулированных отно
сительно напряжений, сколько неизвестных компонент напряжений. Мы используем термин ”формаль
но статически определимая задача”, смысл которого в точности такой же. Формальная статическая
определимость еще не гарантирует того, что действительно можно определить поле напряжений (даже
если граничные условия сформулированы в напряжениях), не привлекая кинематических уравнений. В
тех случаях, когда это действительно удается сделать мы будем вести речь о фактической статической
определимости. Различие между формальной и фактической статической определимостью было бле
стяще продемонстрировано Хиллом на примере формально статически определимой задачи плоского
неустановившегося пластического течения: если найдется линия скольжения, пересекающая дважды
границу раздела упругой и пластической зон, то одних лишь уравнений в напряжениях недостаточно
для их определения единственным образом.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы