Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

20 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
и, применяя условия совместности (1.13), получим
BN − n × (N × b)+(N · b)n = 0. (1.15)
Кроме того, так как n · n =1,тоn · (∇ ⊗ n)
T
= 0 и, следовательно,
(b · n)N = 0, что приводит к следующему соотношению на поверхности
слабого разрыва:
b · n =0. (1.16)
Замечая, что
n ×(N × b)=(n ·b)N −(N · n)b
и учитывая (1.16), уравнение (1.15) приводим к виду
BN +(N · n)b +(N · b)n = 0. (1.17)
Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор N:
B +2(N · n)(N · b)=0. (1.18)
Умножая обе части уравнения (1.17) скалярно на вектор n, получим
также
B(N · n)+N · b =0. (1.19)
Подставляя в это уравнение выражение для B, полученное с помощью
предыдущего уравнения, находим, что
(N · b)(1 − 2(N · n)
2
)=0. (1.20)
Это уравнение распадается на два. Если N · b 6=0, то необходимо
N · n = ±
1
√
2
. (1.21)
Если N · b =0, то на основании (1.18) B =0, и тогда уравнение (1.17)
дает
(N · n)b = 0,
откуда в силу того, что равенства B =0и b = 0 не могут выполняться
одновременно,
N · n =0. (1.22)
Итак, уравнение (1.12) принадлежит к гиперболическому типу. Норма-
ли к характеристическим поверхностям в силу (1.21) образуют конус с
углом полураствора π/4 и осью, ориентированной вдоль вектора n (см.
рис. 2). Ясно, что характеристические поверхности являются также и по-
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы