Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска 19
Обозначим через Σ отношение σ
3
к ∓2k и приведем уравнение (1.8)к
виду:
gradΣ + div(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (1.9)
В декартовых координатах векторное уравнение (1.9) эквивалентно си-
стеме трех скалярных уравнений (i, k =1, 2, 3):
∂Σ
∂x
i
+ n
k
∂n
i
∂x
k
+ n
i
∂n
k
∂x
k
=0 (n
k
n
k
=1).
Отметим также еще одну инвариантную форму уравнения (1.9):
∇Σ+(n · ∇)n + n(∇ · n)=0, (1.10)
где ∇ — пространственный оператор Гамильтона.
Для единичного векторного поля справедлива формула
(n · ∇)n = −n × rot n, (1.11)
с помощью которой векторное уравнение (1.10) может быть также пред-
ставлено в виде
∇Σ − n × rot n + ndivn = 0. (1.12)
Это уравнение в силу своего инвариантного характера служит основой
для всех последующих рассмотрений и оказывается исключительно удоб-
ным для геометрического исследования поля n.
В дальнейшем мы будем использовать также следующие равенства:
((n · ∇)n) · rot n =0, ((n · ∇)n) · n =0,
вытекающие из (1.11).
Исследуем характеристики уравнения (1.12). Для этого будем тракто-
вать характеристические поверхности уравнения (1.12) как поверхности
слабого разрыва Σ и n и воспользуемся условиями совместности Адама-
ра—Томаса [2]:
[∇Σ] = BN, [∇ ⊗ n]=N ⊗ b, (1.13)
где []обозначает скачок при переходе через поверхность слабого разрыва;
N — единичный вектор нормали к поверхности слабого разрыва; B, b —
некоторые поля, определенные на этой поверхности, причем равенства B =
0 и b = 0 не могут выполняться одновременно ни в какой точке поверх-
ности, если рассматриваемая поверхность есть действительно поверхность
слабого разрыва.
На основании уравнения (1.12) имеем:
[∇Σ] − n × [rot n]+n [divn]=0 (1.14)
Ю.Н. Радаев

Страницы