Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

22 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
предложенной Леви:
σ
11
= p + k cos 2θ,
σ
22
= p − k cos 2θ,
σ
12
= k sin 2θ,
(1.25)
где p =1/2(σ
11
+σ
22
)=1/2(σ
1
+σ
2
), θ угол наклона к оси x
1
главной оси
напряжений, соответствующей наибольшему главному напряжению σ
1
.
Уравнения равновесия жесткопластического тела в случае плоской де
формации имеют вид (см., например, [5])
∂p
∂x
1
−2k(sin 2θ
∂θ
∂x
1
− cos 2θ
∂θ
∂x
2
)=0,
∂p
∂x
2
+2k(cos 2θ
∂θ
∂x
1
+sin2θ
∂θ
∂x
2
)=0,
(1.26)
и получаются подстановкой соотношений Леви (1.25) в уравнения равнове
сия.
Если ввести обозначение Σ=p/(2k) и плоское векторное поле n ском
понентами n
1
=cosθ, n
2
=sinθ, то уравнения (1.26) приводятся к двумер
ному уравнению (1.9). Тем самым устанавливается аналогия между стати
ческими уравнениями плоского деформированного состояния и простран
ственными уравнениями для ребра призмы Треска, и находит объяснение
гиперболичность соответствующих систем уравнений.
Дифференциальные уравнения характеристик в случае плоской дефор
мации (линий скольжения) есть:
dx
2
dx
1
=tg
θ −
π
4
,
dx
2
dx
1
=tg
θ +
π
4
.
Итак, уравнение (1.9) обладает необходимой степенью общности, описы
вая также напряженные состояния, соответствующие грани призмы Трес
ка.
В связи с тем, что характеристические направления существенно за
висят от ориентации вектора n, в дальнейшем исследовании уравнений
пространственной задачи математической теории пластичности будут ис
пользоваться некоторые результаты из геометрической теории векторных
полей, изложенные, например, в [19], или в более раннем и полном источ
нике [20], с. 177-181.
Геометрия единичного векторного поля n полностью описывается его
интегральными линиями (векторными линиями поля). С каждой интеграль
ной линией связан триэдр Френе (касательный вектор τ = n, вектор глав
ной нормали ν, вектор бинормали β) и два инварианта: кривизна κ и кру
чение σ.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы