Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

24 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
и, следовательно, все векторные линии поля n есть прямые. Мы называ-
ем этот случай вырожденным, подразумевая под этим как раз тот факт,
что вырожденному решению уравнений теории пластичности соответству-
ют прямолинейные векторные линии поля n.
Так как n — единичное векторное поле, то его потенциал должен удо-
влетворять уравнению |∇f| =1, известному как уравнение эйконала.
21
Полный интеграл этого уравнения известен, поэтому нахождение решений
этого уравнения теоретически не представляет затруднений.
Уравнение (1.12) при условии rot n = 0 существенно упрощается
∇σ
3
∓2k∆f∇f = 0 (1.31)
и может быть проинтегрировано, если
∇ × (∆f∇f)=(∇∆f) ×∇f = 0. (1.32)
В результате наибольшее (или наименьшее) главное напряжение опре-
деляется в виде:
σ
3
= ±2k
x
s
Z
˜x
s
∆fdf. (1.33)
Это соотношение вместе с n = ∇f,гдеf — совместный интеграл урав-
нения эйконала |∇f| =1и уравнения (∇∆f) ×∇f = 0, представляет все
решения уравнения (1.12) при предположении, что n ×rot n = 0.Заметим,
что полный интеграл уравнения эйконала (за вычетом аддитивной посто-
янной) f(r)=k · r,гдеk — единичный вектор, заведомо удовлетворяет
условию ∆f =0, и, следовательно, будет представлять собой совместный
интеграл указанных уравнений. Ясно, что полному интегралу уравнения
эйконала отвечает равномерное пространственное напряженное состояние:
вектор n не изменяется и совпадает с вектором k, главные напряжения
также постоянны.
Потенциальность поля n означает также, что его можно рассматривать
как поле нормалей к семейству поверхностей уровня потенциала f(x
1
,x
2
,x
3
)=
const. Так как векторные линии поля n прямолинейны, то каждая ин-
дивидуальная векторная линия будет нормально пересекать каждую из
поверхностей семейства f(x
1
,x
2
,x
3
)=const. Но это может быть толь-
ко тогда, когда поверхности уровня образуют семейство эквидистантных
по отношению к некоторой фиксированной (базовой) поверхности уровня
f(x
1
,x
2
,x
3
)=˜c поверхностей.
21
Двумерное уравнение эйконала в математической теории пластичности обычно называется урав-
нением песчаной насыпи. Решения граничных задач для уравнения эйконала имеют характерные для
идеальной пластичности разрывы первых производных.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы