Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

26 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
базовой поверхности ξ
3
=0чисто условен. Поэтому, положив в (1.36) ξ
3
=0
и получив то или иное условие, его надо будет затем распространить на все
поверхности семейства.
Подсчитывая величину g с помощью (1.35), выполняя дифференциро-
вание в (1.36)поξ
3
и полагая ξ
3
=0, приходим к соотношению
∂
∂ξ
α
˜g
11
˜
b
22
+˜g
22
˜
b
11
−2˜g
12
˜
b
12
˜g
11
˜g
22
− ˜g
2
12
=0 (α, β =1, 2)
или
∂
∂ξ
α
(˜g
11
˜
b
11
+˜g
22
˜
b
22
+2˜g
12
˜
b
12
)=0 (α, β =1, 2),
что означает
∂
˜
H
∂ξ
α
=0 (α, β =1, 2).
Распространяя полученный результат на все поверхности семейства,
приходим к заключению, что в области вырожденного поля средняя кри-
визна каждой поверхности эквидистантного семейства должна быть посто-
янной величиной, возможно, изменяющейся при переходе от одной поверх-
ности к другой: H = H(ξ
3
). Но средняя и полные кривизны семейства эк-
видистантных поверхностей связаны согласно (см., например, [22], с. 203)
H =
˜
H − ξ
3
˜
K
1+(ξ
3
)
2
˜
K − 2ξ
3
˜
H
,K=
˜
K
1+(ξ
3
)
2
˜
K − 2ξ
3
˜
H
,
H
2
−4K
K
2
=
˜
H
2
− 4
˜
K
˜
K
2
,
(1.37)
причем эти формулы справедливы для значений ξ
3
, удовлетворяющих нера-
венствам
1 − ˜κ
1
ξ
3
> 0, 1 − ˜κ
2
ξ
3
> 0,
где ˜κ
1
, ˜κ
2
— главные кривизны базовой поверхности.
Условие интегрируемости H = H(ξ
3
) с учетом (1.37) сводится к тому,
что отношение
1 − ξ
3
˜
H
˜
H − ξ
3
˜
K
зависит только от ξ
3
, что возможно, только если полная и средняя кри-
визны базовой поверхности есть некоторые постоянные.
23
Ясно, что плос-
кость, круговой цилиндр и сфера — простейшие поверхности, удовлетворя-
ющие этому условию. Выясним, возможны ли другие формы поверхностей
23
То же самое, естественно, относится и к любой поверхности уровня потенциала вырожденного
поля. Отметим также, что если уравнение x
3
= x
3
(x
1
,x
2
) задает поверхность с постоянной полной и
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы