Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.1. Вырожденные решения пространственной задачи для ребра призмы Треска 27
уровня потенциала вырожденного поля. Для этого воспользуемся тем, что
первую квадратичную форму поверхности постоянной средней кривизны,
отличной от сферы, можно в изометрических координатах ξ, η представить
в виде ([22], с. 196, 197):
ds
2
=
1
√
E
(dξ
2
+ dη
2
),
где E = H
2
−K>0 — Эйлерова разность поверхности.
24
Так как H и K постоянны, то трансформацией растяжения можно вве-
сти координаты
ξ, η, в которых
ds
2
= dξ
2
+ dη
2
.
Но это означает, что поверхность развертывается на плоскость, т.е. имеет
нулевую полную кривизну.
Итак, поверхности уровня потенциала вырожденного поля (за исклю-
чением сферической поверхности) имеют нулевую полную кривизну и по-
стоянную среднюю кривизну. Как известно ([22], с. 181), всякая поверх-
ность нулевой полной кривизны есть часть плоскости или цилиндра, или
конуса, или поверхности касательных к пространственной кривой. Ясно,
что плоскость имеет постоянную среднюю кривизну, равную нулю. Среди
цилиндров постоянной средней кривизной обладает только круговой ци-
линдр. Средняя кривизна конической поверхности не является постоянной.
В случае когда поверхность уровня образуется касательными к простран-
ственной кривой, которая называется стрикционной линией поверхности,
параметрическое уравнение поверхности имеет вид
x
k
= x
∗
k
(ξ
1
)+ξ
2
τ
∗
k
(ξ
1
),
средней кривизной, то одновременно должны удовлетворяться уравнения
2H =
(1 + q
2
)r −2pqs +(1+p
2
)t
(1 + p
2
+ q
2
)
3/2
=const,
K =
rt − s
2
(1 + p
2
+ q
2
)
3/2
=const,
где использованы обозначения Монжа (G. Monge)
p =
∂x
3
∂x
1
,q=
∂x
3
∂x
2
,r=
∂
2
x
3
∂x
2
1
,s=
∂
2
x
3
∂x
1
∂x
2
,t=
∂
2
x
3
∂x
2
2
.
24
Здесь еще необходимо предполагать, что на поверхности отсутствуют омбилические точки, т.е.
такие точки, в которых Эйлерова разность поверхности становится нулевой. Можно показать, что
омбилические точки на поверхности постоянной средней кривизны, если она отлична от плоскости и
сферы, изолированы. Для плоскости и сферы E =0всюду на поверхности. Только плоскость и сфера
сплошь состоят из омбилических точек.
Ю.Н. Радаев

Страницы