Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.1. Вырожденные решения пространственной задачи для ребра призмы Треска 25
Продолжить исследование вырожденного поля n оказывается удобным
в специальным образом подобранной криволинейной координатной систе
ме. На базовой поверхности f(x
1
,x
2
,x
3
)=˜c выберем некоторые Гауссо
вы параметры ξ
1
,ξ
2
. Тогда параметризация этой поверхности будет иметь
вид: x
i
=˜x
i
(ξ
1
,ξ
2
). Обозначим через ξ
3
расстояние от рассматриваемой по
верхности до типичной эквидистантной поверхности f(x
1
,x
2
,x
3
)=const,
измеренное вдоль нормали. Ясно, что в области вырожденного поля пере
менные ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
можно принять в качестве криволинейных координат:
x
i
=˜x
i
(ξ
1
,ξ
2
)+ξ
3
n
i
. (1.34)
Метрический тензор, введенной таким образом в области вырожденного
поля криволинейной сетки, вычисляется как (см., например, [21], с. 212-215)
g
αβ
=˜a
αβ
(1 − (ξ
3
)
2
˜
K) −2ξ
3
˜
b
αβ
(1 −ξ
3
˜
H)(α, β =1, 2),
g
α3
=0,g
33
=1,
(1.35)
где ˜a
αβ
коэффициенты первой квадратичной формы базовой поверхно
сти,
˜
b
αβ
коэффициенты второй квадратичной формы базовой поверхно
сти,
˜
K полная (Гауссова) кривизна,
˜
H средняя кривизна базовой по
верхности.
22
В новых координатах потенциал f поля n, удовлетворяющий уравнению
эйконала |∇f| =1, примет наиболее простой вид: f = ξ
3
.
Условие интегрируемости (1.32), т.е. условие независимости интеграла
(1.33) от пути интегрирования, в силу ([21], с. 105)
∆f =
1
2
∂
∂ξ
3
ln g,
где g детерминант матрицы, составленной из компонент метрического
тензора криволинейной координатной системы (1.34), можно представить
вформе
∂
∂ξ
α
∂
∂ξ
3
ln g =0 (α, β =1, 2). (1.36)
Заметим что в этом уравнении после дифференцирования по ξ
3
можно
положить ξ
3
=0, поскольку условие интегрируемости (1.36) имеет геомет
рический характер и относится ко всему семейству поверхностей, а выбор
22
См. монографию [22] и фундаментальное двухтомное сочинение [23], [24] по поводу основных по-
нятий дифференциальной геометрии поверхностей. Здесь только отметим формулы
˜
K =
det
˜
b
αβ
det k˜a
αβ
k
,
˜
H =
1
2
˜g
αβ
˜
b
αβ
.
Ю.Н. Радаев

Страницы