Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.1. Вырожденные решения пространственной задачи для ребра призмы Треска 23
Производные вдоль линии поля векторов триэдра Френе определяются
формулами Френе:
(n · ∇)n = κν,
(n · ∇)ν = −κn + σβ,
(n · ∇)β = −σν.
(1.27)
Кривизна и кручение векторной линии вычисляются как
κ = |(n · ∇)n|,
σ =
< n, (n · ∇)n, (n ⊗n ··∇ ⊗ ∇)n >
|(n · ∇)n|
2
.
(1.28)
Здесь треугольными скобками обозначается смешанное произведение век-
торов.
Первая из формул Френе (1.27) с помощью соотношения (1.11) позволя-
ет получить формулу Гамильтона (W.R.Hamilton) для кривизны вектор-
ной линии единичного поля n (см. также [19], с. 23, 24). Согласно этой
формуле, вектор кривизны κ векторной линии поля n вычисляется как
κ = −n × rot n. (1.29)
Напомним, что вектор кривизны κ по модулю равен кривизне линии и
направлен по главной нормали.
Из формулы Гамильтона следует, что вектор rot n принадлежит спрям-
ляющей плоскости векторной линии поля n. Скалярным умножением (1.29)
на ν находится следующее выражение для кривизны линии поля:
κ = β · rot n, (1.30)
т.е. кривизна векторной линии поля n есть проекция вектора rot n на би-
нормаль.
1.1. Вырожденные решения пространственной задачи
для ребра призмы Треска
Исследуем уравнение (1.12) сначала в предположении, что n×rot n = 0
всюду в области пластического течения. Выполнение приведенного условия
возможно только при условии, что n — безвихревое векторное поле: n =
∇f,гдеf — потенциал поля.
20
Воспользуемся далее формулой Гамильтона (1.29) для кривизны вектор-
ной линии единичного поля n. Ясно, что в рассматриваемом случае κ = 0
20
Доказательство этого утверждения будет дано в разделе 3.
Ю.Н. Радаев

Страницы