ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
где x
k
= x
∗
k
(ξ
1
) — параметризация стрикционной линии, τ
∗
k
— компоненты
касательного вектора к стрикционной линии. Расчет средней кривизны по-
верхности приводит к формуле (κ
∗
, σ
∗
— соответственно кривизна и круче-
ние стрикционной линии)
2H = −
σ
∗
ξ
2
κ
∗
,
с помощью которой можно заключить, что постоянство средней кривизны
обеспечивается только условием σ
∗
=0, т.е. стрикционная линия — плоская
кривая, а это означает, что поверхность, образуемая касательными, есть
некоторая область на плоскости.
Итак, поверхность уровня вырожденного поля есть часть плоскости,
кругового цилиндра или сферы и никакой другой формы эта поверхность
иметь не может.
Обращаясь к уравнению (1.33), замечаем, что на каждой из поверхно-
стей уровня потенциала f наибольшее (наименьшее) главное напряжение
σ
3
постоянно, в силу чего значение σ
3
зависит только от координаты ξ
3
.
1.2. Невырожденные решения пространственной зада-
чи для ребра призмы Треска
Исследуем уравнение (1.12) в предположении, что n × rot n 6= 0 всюду
в пластической зоне. В этом случае векторные линии поля n заведомо не
будут прямолинейными.
Умножая обе части уравнения (1.10) скалярно на n, rot n и n × rot n,
получим
n · gradΣ + divn =0, (1.38)
rot n · gradΣ + (n · rot n)divn =0, (1.39)
(n × rot n) · gradΣ −|n × rot n|
2
=0. (1.40)
Уравнения (1.38)–(1.40) позволяют найти траектории, вдоль которых
главное напряжение σ
3
не изменяется.
Пусть s — орт, направленный вдоль вектора n × rot n. В плоскости, об-
разованной векторами s и n, рассмотрим орт t, наклоненный к s под неко-
торым углом α:
t =cosαs +sinαn.
Умножив уравнение (1.38)наsin α, а уравнение (1.40)—наcos α исло-
жив, приходим к
t · ∇Σ+sinαdivn − cos α |n × rot n| =0.
Пространственная задача математической теории пластичности
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
