Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

30 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска
каждую точку зоны пластического течения можно провести три различ-
ных траектории (касающиеся трех некомпланарных направлений t, h, p),
вдоль которых наибольшее главное напряжение σ
3
не изменяется. Но это
означает, что ∇σ
3
= 0 всюду в пластической зоне и, следовательно, все
главные напряжения постоянны. Но тогда уравнение (1.12) приобретает
вид
n × rot n = n(divn), (1.44)
откуда сразу же следует, что ∇ · n =0и rot n = 0, что противоречит
предположению n ×rot n 6= 0, следовательно, никаких решений уравнения
(1.12) при одновременном выполнении условий n ×rot n 6= 0 и n ·rot n 6=0
получить нельзя.
Поэтому наибольший интерес представляет тот случай, когда n·rot n =
0 и rot n 6= 0 в пластической зоне. В этом случае, который будет в дета-
лях рассмотрен ниже, в каждой точке имеется два различных направле-
ния,
25
вдоль которых главное напряжение σ
3
не изменяется, причем вдоль
любого третьего направления, некомпланарного указанным двум, главное
напряжение σ
3
будет заведомо переменным. Ясно, что два направления, о
которых идет речь, касаются поверхности уровня главного напряжения σ
3
.
Как будет показано ниже, условие n · rot n =0допускает замечатель-
ную геометрическую интерпретацию, пользуясь которой можно существен-
но развить исследование невырожденных решений пространственных урав-
нений математической теории пластичности.
1.3. Уравнения обобщенного ассоциированного закона
течения
Ассоциированный закон течения является фундаментальным принци-
пом математической теории пластичности и устанавливает, что в простран-
стве напряжений вектор, представляющий приращения пластических де-
формации dε
P
ij
, ортогонален поверхности текучести f(σ
ij
)=0в данном
напряженном состоянии:
dε
P
ij
=
∂f
∂σ
ij
dλ. (1.45)
Величина dλ, называемая неопределенным множителем, положительна при
активном пластическом нагружении, признаком которого является выпол-
нение условий f =0, df =0.
Ассоциированный закон течения однозначно определяет направление
вектора, представляющего приращения пластических деформаций в про-
странстве напряжений, только в регулярных точках поверхности текуче-
сти. Если напряженное состояние соответствует ребру (угловой точке) или
25
Поскольку ориентации векторов h и p совпадают.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы