ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6.1. Канонические координаты задачи о плоской пластической деформации 57
Итак, при плоском пластическом течении имеется основной канониче-
ский инвариант
1
2
I
Γ
x
1
dx
2
− x
2
dx
1
=(ω
1
2
− ω
1
1
)(ω
3
2
− ω
3
1
),
непосредственно связанный с геометрией поля изостатических траекторий.
Введем производящую функцию Φ(x
1
,ω
1
) плоского канонического отоб-
ражения [35]:
x
2
=
∂Φ(x
1
,ω
1
)
∂x
1
,ω
3
= −
∂Φ(x
1
,ω
1
)
∂ω
1
. (6.6)
Тогда первое уравнение системы (6.5) приводится к виду:
∂
2
Φ
∂(ω
1
)
2
=
"
∂
2
Φ
∂x
1
∂ω
1
2
−
∂
2
Φ
∂x
2
1
∂
2
Φ
∂(ω
1
)
2
#
∂
2
Φ
∂x
2
1
. (6.7)
Второе уравнение системы (6.5) удовлетворяется тождественно в силу
(6.6).
37
Нелинейное уравнение (6.7) инвариантно относительно преобразования
Лежандра (A.M. Legendre): вводя тангенциальные координаты
x
∗
1
=
∂Φ
∂x
1
,ω
1
∗
=
∂Φ
∂ω
1
, Φ
∗
= x
1
∂Φ
∂x
1
+ ω
1
∂Φ
∂ω
1
− Φ,
имеем
∂
2
Φ
∗
∂(ω
1
∗
)
2
=
"
∂
2
Φ
∗
∂x
∗
1
ω
1
∗
2
−
∂
2
Φ
∗
∂x
∗
1
2
∂
2
Φ
∗
∂(ω
1
∗
)
2
#
∂
2
Φ
∗
∂x
∗
1
2
. (6.8)
Действительно, в обозначениях Монжа
P =
∂Φ
∂x
1
,Q=
∂Φ
∂ω
1
,
R =
∂
2
Φ
∂x
2
1
,S=
∂
2
Φ
∂x
1
∂ω
1
,T=
∂
2
Φ
∂(ω
1
)
2
37
Причем во втором уравнении системы (6.5) следует выбрать положительный знак. Если поменять
ролями переменные ω
1
и ω
3
и ввести производящую функцию Φ(x
1
,ω
3
),согласно
x
2
=
∂Φ(x
1
,ω
3
)
∂x
1
,ω
1
= −
∂Φ(x
1
,ω
3
)
∂ω
3
,
то второе уравнение системы (6.5) будет тождественно удовлетворяться при выборе отрицательного
знака. Уравнение для производящей функции при этом в точности совпадает с (6.7), если в нем заме-
нить ω
1
на ω
3
:
∂
2
Φ
∂(ω
3
)
2
=
"
∂
2
Φ
∂x
1
∂ω
3
2
−
∂
2
Φ
∂x
2
1
∂
2
Φ
∂(ω
3
)
2
#
∂
2
Φ
∂x
2
1
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
