ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6.1. Канонические координаты задачи о плоской пластической деформации 59
В результате приходим к телеграфному уравнению
∂
2
F
∂u
2
−
∂
2
F
∂v
2
+ F =0.
Так как преобразование Лежандра инволютивно
39
(см., например, [35],
с. 59-61), то можно выразить переменные x
1
,x
2
,ω
1
через переменные X,
Y , Z, совершая еще раз это же преобразование:
x
1
=
∂Z
∂X
,x
2
= X
∂Z
∂X
+ Y
∂Z
∂Y
− Z, ω
1
=
∂Z
∂Y
.
Преобразуя последние формулы к переменным u, v и функции F (u, v),
получим
x
1
=cosu
∂F
∂u
+sinu
∂F
∂v
+ F sin u,
x
2
=sinu
∂F
∂u
− cos u
∂F
∂v
− F cos u,
(6.11)
ω
1
= −e
v
∂F
∂v
. (6.12)
Нетрудно заметить, что переменная u есть угол наклона первого глав
ного направления тензора напряжений к оси x
1
. Линии ω
1
=constесть
траектории первого (наибольшего) главного напряжения, поэтому
tgθ =
∂
2
Φ(x
1
,ω
1
)
∂x
2
1
ω
1
=const
. (6.13)
Можно найти еще ряд замечательных соотношений, связанных с гео
метрией изостатических траекторий в плоскодеформированном теле. Так,
если спроектировать уравнение (3.6) на направление нормали к траектории
ω
1
=const,то
κ
∇ω
1
=(∇ω
1
) · ∇ ln
∇ω
3
, (6.14)
где
κ = κ ·
∇ω
1
|∇ω
1
|
есть (с точностью до знака) кривизна траектории векторного поля n,т.е.
кривизна линии ω
1
=const. Величину κ можно считать положительной,
поскольку в противном случае (когда направления главной нормали и гра
диента функции ω
1
(x
1
,x
2
) противоположны) достаточно сделать замену
канонической переменной ω
1
на −ω
1
. В дальнейшем будем считать, что
вектор ∇ω
1
имеет направление главной нормали векторной линии поля n.
39
Повторное применение преобразования Лежандра дает исходную функцию. Это свойство преобра-
зования Лежандра часто называют свойством взаимности.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
