Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

58
6. Канонические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
формулы, связывающие вторые частные производные, можно представить
в виде (см. Приложение I)
R
∗
=
T
RT − S
2
,S
∗
=
−S
RT − S
2
,T
∗
=
R
RT − S
2
и обратно —
R =
T
∗
R
∗
T
∗
−S
∗2
,S=
−S
∗
R
∗
T
∗
−S
∗2
,T=
R
∗
R
∗
T
∗
− S
∗2
.
Подстановка последних формул в уравнение (6.7) приводит к уравнению
(6.8), форма которого не отличима от (6.7).
Уравнение (6.7) существенно нелинейно и нелинейность даже сильнее
выражена, чем в классическом уравнении Монжа—Ампера.
38
Несложные
вычисления показывают, что дискриминант характеристического уравне-
ния для (6.7) в точности равен
4[(1 + R
2
)(S
2
− RT) − S
2
].
Поэтому для гиперболичности уравнения (6.7) достаточно выполнения нера-
венства
RT < 0.
Эллиптичность уравнения (6.7) гарантирована при выполнении условия
S
2
− RT < 0.
Вводя функцию U(x
1
,ω
1
)=∂Φ/∂x
1
, уравнение (6.7) можно преобразо-
вать к квазилинейному уравнению, которое после преобразования Лежан-
дра
X =
∂U
∂x
1
,Y=
∂U
∂ω
1
,Z= x
1
∂U
∂x
1
+ ω
1
∂U
∂ω
1
− U
приводится к линейному уравнению второго порядка в частных производ-
ных относительно функции Z = Z(X, Y )
(1 + X
2
)
∂
2
Z
∂X
2
+2XY
∂
2
Z
∂X∂Y
−Y
2
1 − X
2
1+X
2
∂
2
Z
∂Y
2
=0. (6.9)
Это уравнение, как нетрудно проверить, принадлежит к гиперболиче-
скому типу.
Преобразуем полученное уравнение к характеристическим переменным
u, v и новой неизвестной функции F (u, v) по формулам:
u = arctg X, v =
1
2
ln(1 + X
2
) − ln Y, F = Z cos u. (6.10)
38
Теория уравнения Монжа—Ампера изложена, например, в [39], с. 51-65.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы