Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

60
6. Канонические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Замечая далее, что g
11
g
33
=1и g
11
=
∇ω
1
2
, g
33
=
∇ω
3
2
, на основа-
нии уравнения (6.14) находим
κ
∇ω
1
2
= −(∇ω
1
) · ∇
∇ω
1
. (6.15)
Учитывая это последнее соотношение и (3.8), а также то, что одна из
главных кривизн координатной поверхности ω
1
=constравна нулю,
40
а
вторая — κ, приходим к следующей замечательной формуле:
− 2κ =
∆ω
1
|∇ω
1
|
. (6.16)
Полученный результат помимо всего прочего означает, что канониче-
ская переменная ω
1
(x
1
,x
2
) не может быть гармонической функцией, если
только траектории векторного поля n криволинейны. Этот же результат
следует из известного результата теории аналитических функций: при кон-
формном отображении круга посредством аналитической функции, произ-
водная которой в центре круга равна единице,
41
во всех случаях, за исклю-
чением тождественного отображения, получается область с большей, чем
у круга, площадью.
42
Аналогично может быть получена формула для кривизны линий, явля-
ющихся слоями поля n:
− 2κ
1
=
∆ω
3
|∇ω
3
|
. (6.17)
Распределение p вычисляется по формулам (опуская детали, сразу при-
ведем результат [36]):
p =2k ln
s
∂ω
1
∂x
1
2
+
∂ω
1
∂x
2
2
+ C =2k ln
∇ω
1
+ C, (6.18)
где
∂ω
1
∂x
1
=
∂(x
1
,x
2
)
∂(u, v)
−1
∂ω
1
∂u
∂x
2
∂v
−
∂ω
1
∂v
∂x
2
∂u
,
∂ω
1
∂x
2
=
∂(x
1
,x
2
)
∂(u, v)
−1
∂ω
1
∂v
∂x
1
∂u
−
∂ω
1
∂u
∂x
1
∂v
,
(6.19)
|∂(x
1
,x
2
)/∂(u, v)|— якобиан отображения (u, v) → (x
1
,x
2
), C есть постоян-
ная интегрирования.
40
Именно кривизна κ
2
.
41
Это означает, что малый элемент, локализованный в центре круга, сохраняет свою площадь при
отображении.
42
См., например: Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. II. Дальнейшее построение
теории. М.: Наука, 1968. С. 52-55.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы