ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7.4. Уравнения совместности деформаций в приращениях 85
(∇ ×dP)
<31>
= d
1
dP
<21>
+ κ
23
(dP
<21>
+ dP
<12>
)+κ
12
dP
<23>
,
(∇ × dP)
<32>
= −d
2
dP
<12>
− κ
13
(dP
<12>
+ dP
<21>
) − κ
21
dP
<13>
,
(∇ ×dP)
<33>
= d
1
dP
<23>
− d
2
dP
<13>
+ κ
23
dP
<23>
− κ
13
dP
<13>
+
+κ
21
dP
<12>
− κ
12
dP
<21>
.
Подставляя элементы матрицы (7.33) в матрицу тензора ∇ ×dP, находим физиче-
ские компоненты этого тензора в форме:
(∇ × dP)
<11>
= d
2
d
2
dε
3
+ d
3
d
3
dε
2
+ d
2
[κ
31
(dε
3
− dε
2
)] − d
3
[κ
21
(dε
3
− dε
2
)]+
+κ
31
d
2
dε
3
+ κ
21
d
3
dε
2
+ κ
32
d
1
dε
2
+ κ
23
d
1
dε
3
+(κ
2
31
− κ
2
21
)(dε
3
− dε
2
)+
+κ
32
κ
23
(dε
2
−dε
1
) − κ
32
κ
23
(dε
1
− dε
3
),
(∇ ×dP)
<12>
= −d
2
d
1
dε
3
+ d
2
[κ
32
(dε
1
− dε
3
)] − κ
31
d
1
dε
3
+ κ
31
d
1
dε
2
+ κ
23
d
2
dε
3
+
+κ
31
κ
32
(dε
1
−dε
3
)+κ
31
κ
23
(dε
2
− dε
1
)+κ
23
κ
31
(dε
3
− dε
2
),
(∇ × dP)
<13>
= −d
3
d
1
dε
2
− d
3
[κ
23
(dε
2
− dε
1
)] − κ
21
d
1
dε
2
+ κ
21
d
1
dε
3
+ κ
32
d
3
dε
2
−
−κ
23
κ
21
(dε
2
− dε
1
) − κ
32
κ
21
(dε
1
− dε
3
) − κ
21
κ
32
(dε
3
− dε
2
),
(∇ × dP)
<21>
= −d
1
d
2
dε
3
− d
1
[κ
31
(dε
3
− dε
2
)] − κ
32
d
2
dε
3
+ κ
13
d
1
dε
3
+ κ
32
d
2
dε
1
−
−κ
31
κ
32
(dε
3
− dε
2
) − κ
13
κ
32
(dε
2
− dε
1
) − κ
13
κ
32
(dε
1
− dε
3
),
(∇ × dP)
<22>
= d
1
d
1
dε
3
+ d
3
d
3
dε
1
+ d
3
[κ
12
(dε
1
−dε
3
)] − d
1
[κ
32
(dε
1
− dε
3
)]+
+κ
12
d
3
dε
1
+ κ
32
d
1
dε
3
+ κ
13
d
2
dε
3
+ κ
31
d
2
dε
1
+ κ
2
12
(dε
1
−dε
3
)−
−κ
2
32
(dε
1
− dε
3
)+κ
13
κ
31
(dε
3
− dε
2
) − κ
31
κ
13
(dε
2
−dε
1
),
(∇ ×dP)
<23>
= −d
3
d
2
dε
1
+ d
3
[κ
13
(dε
2
− dε
1
)] − κ
12
d
2
dε
1
+ κ
12
d
2
dε
3
+ κ
31
d
3
dε
1
+
+κ
12
κ
31
(dε
3
−dε
2
)+κ
12
κ
13
(dε
2
− dε
1
)+κ
31
κ
12
(dε
1
− dε
3
),
(∇ ×dP)
<31>
= −d
1
d
3
dε
2
+ d
1
[κ
21
(dε
3
− dε
2
)] − κ
23
d
3
dε
2
+ κ
23
d
3
dε
1
+ κ
12
d
1
dε
2
+
+κ
23
κ
21
(dε
3
−dε
2
)+κ
23
κ
12
(dε
1
− dε
3
)+κ
23
κ
12
(dε
2
− dε
1
),
(∇ × dP)
<32>
= −d
2
d
3
dε
1
− d
2
[κ
12
(dε
1
− dε
3
)] − κ
13
d
3
dε
1
+ κ
13
d
3
dε
2
+ κ
21
d
2
dε
1
−
−κ
12
κ
13
(dε
1
− dε
3
) − κ
21
κ
13
(dε
3
− dε
2
) − κ
13
κ
21
(dε
2
− dε
1
),
(∇ × dP)
<33>
= d
1
d
1
dε
2
+ d
2
d
2
dε
1
+ d
1
[κ
23
(dε
2
−dε
1
)] − d
2
[κ
13
(dε
2
− dε
1
)]+
+κ
23
d
1
dε
2
+ κ
13
d
2
dε
1
+ κ
21
d
3
dε
1
+ κ
12
d
3
dε
2
+ κ
2
23
(dε
2
−dε
1
)−
−κ
2
13
(dε
2
− dε
1
)+κ
12
κ
21
(dε
1
− 2dε
3
+ dε
2
).
Нетрудно видеть, что приведенные выше девять компонент тензора −dS = ∇ ×dP
можно получить по следующей схеме: выражения для компонент с индексами 22 и
33 получаются циклической перестановкой индексов в выражении для компоненты 11;
выражения для компонент с индексами 23 и 31 получаются циклической перестановкой
индексов в выражении для компоненты 12.
Равенство нулю всех приведенных только что физических компонент
тензора ∇ × dP и дает условия совместности деформаций в изостатиче-
ской системе координат. Следует отметить, что полученные выражения
для dS
<21>
, dS
<31>
, dS
<32>
отличаются по форме соответственно от dS
<12>
,
dS
<13>
, dS
<23>
. Тем не менее в силу симметрии тензора dS должны быть
справедливы равенства dS
<21>
= dS
<12>
, dS
<31>
= dS
<13>
, dS
<32>
= dS
<23>
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
