Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

88
7. Трехмерные уравнения математической теории пластичности
в ортогональных изостатических координатах
7.5. Плоская деформация
Плоское деформированное состояние характеризуется условием ε
33
=0.
Любое условие пластичности в случае плоского деформированного состоя-
ния приводится к виду σ
1
− σ
2
=2k. В плоскости течения x
1
,x
2
имеется
два взаимно ортогональных семейства изостатических траекторий. Одно
из семейств будем идентифицировать номером 1, другое — номером 2.
Обозначая через θ угол наклона к оси x
1
изостаты первого семейства,
получаем
κ
1
= κ
13
= −d
1
θ, κ
2
= κ
23
= d
2
θ. (7.37)
Имеется всего одно деривационное соотношение, которое имеет вид
d
1
κ
2
+ d
2
κ
1
+ κ
2
1
+ κ
2
2
=0 (7.38)
и удовлетворяется тождественно в силу κ
1
= −d
1
θ, κ
2
= d
2
θ.
Уравнения равновесия, сформулированные в изостатической координат-
ной сетке, сводятся к двум соотношениям Ламе—Максвелла
d
1
σ
1
+ κ
2
(σ
1
− σ
2
)=0,
d
2
σ
2
+ κ
1
(σ
2
− σ
1
)=0,
(7.39)
или (см., например, [50], с. 75):
d
1
σ
1
+
σ
1
− σ
2
ρ
2
=0,d
2
σ
2
+
σ
1
− σ
2
ρ
1
=0, (7.40)
где ρ
1
, ρ
2
— радиусы кривизны линий главных напряжений, причем эти
величины считаются положительными, если с возрастанием натурального
параметра вдоль кривой касательная вращается против часовой стрелки,
при этом положительное направление вдоль первой траектории выбирает-
ся произвольно, а положительное направление вдоль второй траектории
определяется вращением против хода часовой стрелки положительного на-
правления первой траектории.
Так как в случае плоской пластической деформации σ
1
− σ
2
=2k,то
уравнения (7.40) приобретают следующий вид:
d
1
σ
1
+
2k
ρ
2
=0,d
2
σ
1
+
2k
ρ
1
=0. (7.41)
Эта система гиперболична. Характеристики делят пополам угол между
главными направлениями напряжений. Вводя в систему (7.41) производные
вдоль характеристических направлений (примем, что первая характеристи-
ка отклоняется от первого главного направления напряжений, соответству-
ющего наибольшему главному напряжению, на угол π/4 по ходу часовой
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы