ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7.5. Плоская деформация 89
стрелки)
d
1
=
d
1
− d
2
√
2
,
d
2
=
d
1
+ d
2
√
2
, (7.42)
складывая, а затем вычитая уравнения этой системы, получим интегриру-
емые соотношения Генки вдоль характеристик:
d
1
(σ
1
− 2kθ)=0, d
2
(σ
1
+2kθ)=0. (7.43)
В случае плоской деформации уравнения равновесия в приращениях
главных напряжений, сформулированные в изостатической сетке, можно
получить в виде
d
1
dσ
1
+ κ
2
(dσ
1
− dσ
2
)+(2κ
1
+ d
2
)[(σ
1
− σ
2
)dω]=0,
d
2
dσ
2
+ κ
1
(dσ
2
− dσ
1
)+(2κ
2
+ d
1
)[(σ
1
− σ
2
)dω]=0,
(7.44)
где dω = dω
3
— малый поворот главных осей напряжений в плоскости те-
чения при догружении, и, замечая, что σ
1
− σ
2
=2k,—
d
1
dσ
1
+2k(2κ
1
+ d
2
)dω =0,
d
2
dσ
1
+2k(2κ
2
+ d
1
)dω =0.
(7.45)
Характеристики системы уравнений в приращениях делят пополам угол
между главными направлениями напряжений, т.е. являются линиями сколь-
жения.
Вводя производные по характеристическим направлениям
√
2 d
1
= d
1
−
d
2
,
√
2 d
2
= d
1
+ d
2
,спомощью(7.45) находим соотношения вдоль характе-
ристик
√
2 d
1
(dσ
1
− 2kdω)+4k(κ
1
−κ
2
)dω =0,
√
2 d
2
(dσ
1
+2kdω)+4k(κ
1
+ κ
2
)dω =0.
В случае плоской деформации условия совместности в приращениях
деформаций сводятся к одному уравнению
dS
<33>
=−d
1
d
1
dε
2
−d
2
d
2
dε
1
− (d
1
κ
2
−d
2
κ
1
+κ
2
2
−κ
2
1
)(dε
2
− dε
1
)−
−κ
2
d
1
(2dε
2
− dε
1
) − κ
1
d
2
(2dε
1
− dε
2
)+
+(d
1
d
2
+ d
2
d
1
+3κ
1
d
1
+3κ
2
d
2
)
(ε
E
1
− ε
E
2
)dω
+
+2(2κ
1
κ
2
+ d
1
κ
1
+ d
2
κ
2
)(ε
E
1
− ε
E
2
)dω =0
(7.46)
и, в силу σ
1
−σ
2
=2k, в этом уравнении следует положить ε
E
1
−ε
E
2
= k/G.
Интересно заметить, что в случае плоской деформации компонента dS
<33>
тензора dS может быть вычислена по формуле
dS
<33>
= ∇ · (∇ · dε) − ∆dε
jj
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
