Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.5. Плоская деформация 91
систему кинематических уравнений можно привести к следующему сим-
метричному виду:
d
2
q − d
1
p = p
2
− q
2
+3(pQ + qP)+2(d
1
Q + d
2
P + Q
2
− P
2
),
d
2
p − d
1
q = pP + qQ.
(7.52)
Напомним, что здесь величины p и q — производные вдоль линий главных
напряжений от логарифмического приращения деформации.
Уравнения статики также преобразуются к симметричной форме отно-
сительно величин P и Q. Действительно, уравнения равновесия (7.41)с
помощью обозначений P
∗
= d
1
σ
1
/(2k), Q
∗
= d
2
σ
1
/(2k) представляются
как
P
∗
= −Q, Q
∗
= −P. (7.53)
На основании (7.50) находим
d
2
P
∗
−d
1
Q
∗
= −κ
1
P
∗
+ κ
2
Q
∗
= PP
∗
+ QQ
∗
и в силу (7.53)—
d
1
P − d
2
Q = −2PQ.
Переписывая в новых обозначениях деривационную формулу (7.38),
имеем
d
2
P − d
1
Q = P
2
+ Q
2
.
Таким образом получаем систему статических уравнений плоской зада-
чи в форме:
d
1
P − d
2
Q = −2PQ,
d
2
P − d
1
Q = P
2
+ Q
2
.
(7.54)
Последняя система уравнений позволяет сформулировать ряд новых
результатов, касающихся геометрии поля изостат.
Преобразуя систему уравнений (7.54) к характеристическим перемен-
ным (см. (7.42)), находим
√
2 d
1
(P + Q)=−(P + Q)
2
,
√
2 d
2
(P −Q)=(P − Q)
2
,
или
d
1
1
P + Q
=
1
√
2
,
d
2
1
P −Q
= −
1
√
2
. (7.55)
Вспоминая определение величин P и Q, получим следующие соотноше-
ния вдоль характеристик:
d
1
1
κ
2
− κ
1
=
1
√
2
,
d
2
1
κ
2
+ κ
1
=
1
√
2
, (7.56)
Ю.Н. Радаев

Страницы