Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

104
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
1.9. Краевые условия и постановка основных краевых
задач для пространственных состояний, соответству-
ющих ребру призмы Кулона–Треска
Развиваемый в настоящей книге подход к исследованию пространствен
ных задач теории идеальной пластичности позволяет дать математическую
формулировку основных краевых задач, решение которых должно вскрыть
особенности пространственного напряженно-деформированного состояния.
Зная о формальной статической определимости пространственных задач
для состояний, соответствующих ребру призмы КулонаТреска, мы огра
ничимся рассмотрением граничных условий для напряжений. В отличии
от плоской и осесимметричной задачи теории идеальной пластичности,
формулировка граничных условий и постановка краевых задач в простран
ственном случае не являются столь простыми.
Пусть на поверхности A, являющеся частью граничной поверхности иде
ально пластического тела задан вектор поверхностных сил p. Соответству
ющее граничное условие имеет вид
p(x)=σ|
A
· ν, (1.9.1)
где ν единичный вектор нормали к поверхности A. Таким образом, отыс
кание напряжений в идеально пластическом теле в окрестности поверхно
сти A при условии ”полной пластичности” σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k состоит в
решении следующей краевой задачи в некоторой области, примыкающей к
поверхности A:
div σ = 0,
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k,
p = σ|
A
· ν.
(1.9.2)
В условиях ”полной пластичности” тензор напряжений выражается в
форме
σ = σ
3
I ± 2k(I − n ⊗ n), (1.9.3)
где знаки согласованы со знаками в условии σ
1
= σ
2
= σ
3
±2k. Подставляя
(1.9.3) в граничное условие (1.9.1), находим
p = σ
3
ν ± 2k(ν − n(n · ν)). (1.9.4)
Умножая обе части полученного равенства скалярно на вектор ν, имеем
p · ν = σ
3
± 2k(1 − (n · ν)
2
), (1.9.5)
что позволяет исключить главное напряжение σ
3
и преобразовать (1.9.4)к
виду
p − (p · ν)ν = ±2k((n · ν)
2
ν − n(n · ν)). (1.9.6)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы