Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

106
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
После того как на граничной поверхности определено значение n·ν,гра
ничное значение n вычисляется с помощью (1.9.6), а граничное значение
σ
3
с помощью (1.9.5). На практике, формулировка граничного условия
для вектора n в случае пространственных уравнений часто сопряжена со
значительными трудностями. Чтобы яснее представить себе ситуацию, рас
смотрим один специальный тип граничных условий.
При решении прикладных задач особый интерес представляет гранич
ное условие
p = pν,
т.е. когда вектор контактного усилия на граничной поверхности A имеет
направление нормали к этой поверхности. На основании (1.9.8) заключаем,
что возможны два варианта граничных условий: n · ν = ±1 и тогда соб
ственный вектор n коллинарен вектору нормали ν; n ·ν =0, т.е. вектор n
располагается в плоскости, касающейся поверхности A, причем ориентация
вектора n в указанной плоскости граничным условием не предписывается,
и тогда поверхность A будет характеристической для уравнения (1.2.4),
которое мы, для удобства читателя, воспроизводим ниже
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0 (n ·n =1). (1.9.10)
В первом случае на основании граничного условия можно сформули
ровать математическую задачу Коши для уравнения (1.2.4) с начальными
данными на поверхности A, поскольку на этой поверхности будет задана
ориентация вектора n и значения главного напряжения σ
3
.
88
Во втором случае
89
сформулировать задачу Коши для уравнения (1.2.4)
с начальными данными на поверхности A без дополнительного анализа не
представляется возможным, поскольку, во-первых, ориентация вектора n
в касательной к поверхности A плоскости не задана, а во-вторых, в силу
того, что эта поверхность будет характеристической для уравнения (1.2.4),
указать упомянутую ориентацию необходимо так чтобы на самой поверх
88
Первый из рассматриваемых вариантов не подходит, например, в качестве граничного условия на
свободной боковой поверхности осесимметричной шейки в одноосно растягиваемом образце. Однако
минимальное сечение шейки будет слоем векторного поля n, как это следует из соображений симмет-
рии. Поэтому на плоской поверхности, являющеся минимальным сечением шейки, векторное поле n
будет направлено по нормали, т.е. реализуется первый возможный тип граничного условия. Ниже, в
главе 6, мы подробнее проанализируем этот случай.
89
А именно этот случай представляет наибольший интерес. Анализ решений осесимметричных за-
дач (в частности, об одноосном растяжении образца с осесимметричной шейкой) показывает, что на
свободной границе реализуется граничное условие именно второго типа. Правда, в условиях осевой
симметрии можно перейти к соответствующей двумерной задаче, на свободной граничной линии век-
тор n будет касаться ее, т.е. она будет изостатической траекторией, поэтому указанная линия не будет
характеристикой и, следовательно, на ней можно корректно поставить задачу Коши. В уравнениях
осесимметричного и плоского деформированного состояния теряется специфика трехмерных уравне-
ний: на свободной границе ориентация вектора n становится вполне определенной, и векторные линии
поля n перестают быть характеристическими.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы