Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.9. Краевые условия и постановка основных краевых задач для пространственных
состояний, соответствующих ребру призмы Кулона–Треска
107
ности A выполнялось уравнение (1.2.4). Мы, поэтому, сосредоточимся пока
на граничном условии второго типа.
Вводя величину Σ=σ
3
/(∓2k), рассмотрим уравнение (1.2.4)вформе
∇Σ − n × (∇ × n)+n(∇ · n)=0 (n · n =1). (1.9.11)
В силу расслоенности векторного поля n имеем
n · (∇ × n)=0. (1.9.12)
Представим пространственное дифференциальное уравнение (1.9.11)на
граничной поверхности, пользуясь следующими выражениями для простран-
ственных дифференциальных операторов на поверхности:
∇Σ=((ν ·∇)Σ)ν + a
αβ
i
α
∂Σ
∂τ
β
,
∇♦n = ν♦(ν ·∇)n + a
αβ
i
α
♦
∂n
∂τ
β
,
(1.9.13)
где ∇ — пространственный оператор Гамильтона, τ
β
— Гауссовы координа-
ты на граничной поверхности, i
α
— ковариантные локальные базисные век-
торы на указанной поверхности, a
αβ
— компоненты фундаментального тен-
зора граничной поверхности, ν — единичный вектор нормали к граничной
поверхности, символ ♦ указывает один из операторов ·, ×, ⊗. Доказатель-
ство (1.9.13) проводится внутренним умножением слева на базисные орты
i
1
, i
2
, ν. Имеем формулы
n · (∇ × n)=n · (ν × (ν · ∇)n)+a
αβ
n · (i
α
×
∂n
∂τ
β
),
n × (∇ × n)=n × (ν × (ν · ∇)n)+a
αβ
n × (i
α
×
∂n
∂τ
β
).
(1.9.14)
Преобразуя двойные векторные произведения и учитывая, что
n · ν =0,
n ·
∂n
∂τ
β
=0,
n · (ν · ∇)n =0,
(1.9.15)
второе из уравнений (1.9.14) можно привести к виду
n × (∇ × n)=−a
αβ
(n · i
α
)
∂n
∂τ
β
. (1.9.16)
Умножая обе части векторного уравнения (1.9.11) скалярно сначала на
Ю.Н. Радаев

Страницы