Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2. ”Неассоциированные” определяющие уравнения теории пластичности 111
касательного напряжения. Единичный вектор нормали к характеристиче-
ским элементам относительно локального базиса l, m, n (направление m
соответствует медианному главному нормальному напряжению) определя-
ется равенствами
N =
1
√
2
l +
1
√
2
n,
N =
1
√
2
l −
1
√
2
n.
При этом касательное напряжение на плоском характеристическом элемен-
те равно k, σ
2
является медианным главным напряжением 2σ
2
= σ
1
+ σ
3
и sgn(σ
1
− σ
3
)(σ
1
− σ
3
)=2k. Все это свидетельствует о том, что в подав-
ляющем большинстве пространственных состояний, описываемых согласно
условию Мизеса и ассоциированному с ним закону течения (2.1), действи-
тельные характеристики отсутствуют.
Уравнения Леви—Мизеса устанавливают фундаментальный определя-
ющий закон математической теории пластичности о пропорциональности
скоростей пластических деформаций и девиатора напряжений. Неопреде-
ленный множитель пропорциональности dλ в уравнениях Леви—Мизеса
указывает на невозможность установить взаимнооднозначное соответствие
между девиатором тензора напряжений и приращением тензора пластиче-
ских деформаций. В [5] (гл. IV) этот факт наряду с пропорциональностью
тензора скоростей пластических деформаций ˙ε
ij
и девиатора тензора на-
пряжений s
ij
, а также условием несжимаемости ˙ε
jj
=0, был положен в
основу вывода определяющих уравнений теории идеальной пластичности.
Условие пластичности, которое подбирается так, чтобы удовлетворить ука-
занным требованиям, может и не быть ассоциированным с законом течения
Леви—Мизеса в общепринятом в настоящее время смысле. Здесь мы корот-
ко остановимся на возможных ”неассоциированных” законах течения.
Примем, следуя [5], определяющий закон в форме
s
ij
=Φ˙ε
ij
, (2.2)
где Φ=Φ(ξ,ς) — положительная функция второго и третьего скалярных
инвариантов тензора скоростей пластических деформаций
ξ =˙ε
lk
˙ε
lk
,ς=˙ε
ik
˙ε
kj
˙ε
ij
.
”Ассоциированное” условие пластичности подберем из условия отсут-
ствия взаимнооднозначного соответствия между девиатором тензора на-
пряжений и тензором скоростей пластических деформаций. Для этого про-
изведем сворачивание левых и правых частей тензорного уравнения (2.2):
s =Φ
2
(ξ,ς)ξ,
t =Φ
3
(ξ,ς)ς,
Ю.Н. Радаев

Страницы