Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

142
Глава 7. Канонические изостатические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Можно показать, что инвариантность указанного интеграла есть доста
точное условие того, что объемы образа в пространстве, арифметизован
ном переменными y
1
,y
2
, ..., y
s
,y
1
,y
2
, ..., y
s
, и соответствующего прообраза
при отображении (7.1.1) равны.
106
Для отображений двумерных областей всякое каноническое (в смысле
инвариантности приведенного интеграла) отображение сохраняет площадь
и обратно, если отображение сохраняет площадь, то указанный интеграл
будет инвариантом отображения.
Канонические отображения в четномерных пространствах исследова
лись Пуанкаре в связи с интегрированием уравнений Гамильтона и теори
ей интегральных инвариантов [38]. Особые свойства плоских канонических
отображений были отмечены в [39]. Изложение теории канонических отоб
ражений читатель может найти в классической монографии [31].
Расслоенное статически допустимое поле напряжений в области G по
рождает каноническое отображение
x
i
= f
i
(ω
1
,ω
2
,ω
3
)(i =1, 2, 3) (7.1.2)
некоторой области пространства, арифметизованного переменными ω
j
,на
область пластического течения G. Заметим, что переменные ω
j
специаль
ные 2/3-ортогональные криволинейные координаты, определяемые ниже
по векторному полю n.
Действительно, выделим слой A векторного поля n. Всегда можно счи
тать, что этот слой определяется уравнением ξ
3
=0. Поскольку Гауссову
параметризацию поверхности A можно выбирать в достаточной мере про
извольно, то выберем ее таким образом, чтобы детерминант a первой квад
ратичной формы поверхности A принимал в точках поверхности заданные
значения, равные e
−2Σ
A
,гдеΣ
A
=Σ
A
(x
1
,x
2
,x
3
) значения Σ на слое A.
С целью обоснования возможности подобного выбора (по крайней мере
для аналитического слоя A) рассмотрим Гауссову геодезическую парамет
ризацию поверхности A ([33], с. 252)
x
1
= x
1
(u
1
,u
2
),x
2
= x
2
(u
1
,u
2
),x
3
= x
3
(u
1
,u
2
)
такую, что элемент длины поверхности есть
ds
2
=(du
1
)
2
+ a
22
(u
1
,u
2
)(du
2
)
2
,
где можно считать, что
a
22
(0,u
2
)=1,
∂a
22
∂u
1
u
1
=0
=0.
106
См., например: Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. С. 183-186.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы