Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

146
Глава 7. Канонические изостатические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Естественно рассмотреть двумерное каноническое отображение, опре-
деляемое первыми двумя уравнениями. Ясно, что координатные линии
ω
1
= const, ω
3
= const, соответствующие криволинейным изостатическим
координатам ω
1
, ω
3
, есть взаимно ортогональные изостаты, расположенные
в плоскости течения.
Система (7.1.3) сводится к следующей системе дифференциальных урав-
нений в частных производных:
∂f
1
∂ω
1
∂f
1
∂ω
3
+
∂f
2
∂ω
1
∂f
2
∂ω
3
=0,
∂f
1
∂ω
1
∂f
2
∂ω
3
−
∂f
2
∂ω
1
∂f
1
∂ω
3
= ±1.
(7.2.2)
Второе уравнение этой системы устанавливает, что абсолютная величи-
на якобиана преобразования
x
1
= f
1
(ω
1
,ω
3
),
x
2
= f
2
(ω
1
,ω
3
)
равна единице, т.е. оно сохраняет площадь. Этот факт иллюстрируется
рис. 7.1. Положительность якобиана гарантирует сохранение направлений
обхода четырехугольников, изображенных на рисунке.
Итак, при плоском пластическом течении имеется основной канониче-
ский инвариант
1
2
Γ
x
1
dx
2
− x
2
dx
1
=(ω
1
2
− ω
1
1
)(ω
3
2
− ω
3
1
),
непосредственно связанный с геометрией поля изостатических траекторий.
Введем производящую функцию Φ(x
1
,ω
1
) плоского канонического отоб-
ражения [40]:
x
2
=
∂Φ(x
1
,ω
1
)
∂x
1
,ω
3
= −
∂Φ(x
1
,ω
1
)
∂ω
1
. (7.2.3)
Тогда первое уравнение системы (7.2.2) приводится к виду:
∂
2
Φ
∂(ω
1
)
2
=
∂
2
Φ
∂x
1
∂ω
1
2
−
∂
2
Φ
∂x
2
1
∂
2
Φ
∂(ω
1
)
2
∂
2
Φ
∂x
2
1
. (7.2.4)
Второе уравнение системы (7.2.2) удовлетворяется тождественно в силу
(7.2.3). При этом во втором уравнении системы (7.2.2) следует выбрать
положительный знак.
107
107
Если поменять ролями переменные ω
1
и ω
3
и ввести производящую функцию Φ(x
1
,ω
3
), согласно
x
2
=
∂Φ(x
1
,ω
3
)
∂x
1
,ω
1
= −
∂Φ(x
1
,ω
3
)
∂ω
3
,
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы