Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

148
Глава 7. Канонические изостатические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Действительно, в обозначениях Монжа
P =
∂Φ
∂x
1
,Q=
∂Φ
∂ω
1
,
R =
∂
2
Φ
∂x
2
1
,S=
∂
2
Φ
∂x
1
∂ω
1
,T=
∂
2
Φ
∂(ω
1
)
2
формулы, связывающие вторые частные производные, можно представить
в виде (см. приложение к главам 1–8)
R
∗
=
T
RT − S
2
,S
∗
=
−S
RT − S
2
,T
∗
=
R
RT − S
2
и обратно —
R =
T
∗
R
∗
T
∗
− S
∗2
,S=
−S
∗
R
∗
T
∗
− S
∗2
,T=
R
∗
R
∗
T
∗
− S
∗2
.
Подстановка последних формул в уравнение (7.2.4) приводит к уравнению
(7.2.5), форма которого не отличима от (7.2.4).
Уравнение (7.2.4) существенно нелинейно и нелинейность даже сильнее
выражена, чем в классическом уравнении Монжа—Ампера.
108
Несложные
вычисления показывают, что дискриминант характеристического уравне-
ния для (7.2.4) в точности равен
109
4[2(1 + R
2
)(S
2
− RT ) − S
2
].
Поэтому для гиперболичности уравнения (7.2.4) достаточно выполнения
неравенства
RT < 0.
Эллиптичность уравнения (7.2.4) гарантирована при выполнении условия
S
2
− RT < 0.
108
Теория уравнения Монжа—Ампера изложена, например, в [44], с. 51-65.
109
Напомним, что существенно нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
второго порядка
F (R, S, T, ...)=0,
классифицируется (в смысле принадлежности тому или иному аналитическому типу) на данном своем
решении в зависимости от знака дискриминанта
∂F
∂S
2
− 4
∂F
∂R
∂F
∂T
.
Если дискриминант положителен, то уравнение гиперболично, если отрицателен, то эллиптично.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы