Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

150
Глава 7. Канонические изостатические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
Преобразуя последние формулы к переменным u, v и функции F (u, v),
получим
x
1
= cos u
∂F
∂u
+sinu
∂F
∂v
+ F sin u,
x
2
=sinu
∂F
∂u
− cos u
∂F
∂v
− F cos u,
(7.2.8)
ω
1
= −e
v
∂F
∂v
. (7.2.9)
Нетрудно заметить, что переменная u есть угол наклона первого глав-
ного направления тензора напряжений к оси x
1
. Координатные линии ω
1
=
const есть траектории первого (наибольшего) главного напряжения, поэто-
му
tgθ =
∂
2
Φ(x
1
,ω
1
)
∂x
2
1
ω
1
=const
. (7.2.10)
Можно найти еще ряд замечательных соотношений, связанных с гео-
метрией изостатических траекторий в плоскодеформированном теле. Так,
если спроектировать уравнение (4.6) на направление нормали к траектории
ω
1
= const,то
κ
∇ω
1
=(∇ω
1
) · ∇ ln
∇ω
3
, (7.2.11)
где
κ = κ ·
∇ω
1
|∇ω
1
|
есть (с точностью до знака) кривизна траектории векторного поля n,т.е.
кривизна линии ω
1
= const. Величину κ можно считать положительной,
поскольку в противном случае (когда направления главной нормали и гра-
диента функции ω
1
(x
1
,x
2
) противоположны) достаточно сделать замену
канонической переменной ω
1
на −ω
1
. В дальнейшем будем считать, что
вектор ∇ω
1
имеет направление главной нормали векторной линии поля n.
Замечая далее, что g
11
g
33
=1и g
11
=
∇ω
1
2
, g
33
=
∇ω
3
2
, на основа-
нии уравнения (7.2.11) находим
κ
∇ω
1
2
= −(∇ω
1
) · ∇
∇ω
1
. (7.2.12)
Учитывая это последнее соотношение и (4.12), а также то, что одна из
главных кривизн координатной поверхности ω
1
= const равна нулю,
111
а
вторая — κ, приходим к следующей замечательной формуле:
− 2κ =
∆ω
1
|∇ω
1
|
. (7.2.13)
111
Именно кривизна κ
2
.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы