Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.2. Канонические координаты задачи о плоской пластической деформации 149
Вводя функцию U(x
1
,ω
1
)=∂Φ/∂x
1
, уравнение (7.2.4) можно преоб
разовать к квазилинейному уравнению, которое после преобразования Ле
жандра
X =
∂U
∂x
1
,
Y =
∂U
∂ω
1
,
Z = x
1
∂U
∂x
1
+ ω
1
∂U
∂ω
1
− U
приводится к линейному уравнению второго порядка в частных производ
ных относительно функции Z = Z(X, Y )
(1 + X
2
)
∂
2
Z
∂X
2
+2XY
∂
2
Z
∂X∂Y
− Y
2
1 − X
2
1+X
2
∂
2
Z
∂Y
2
=0. (7.2.6)
Это уравнение, как нетрудно проверить, принадлежит к гиперболиче
скому типу.
Преобразуем полученное уравнение к характеристическим переменным
u, v и новой неизвестной функции F(u, v) по формулам:
u = arctg X, v =
1
2
ln(1 + X
2
) − ln Y, F = Z cos u. (7.2.7)
В результате приходим к телеграфному уравнению
∂
2
F
∂u
2
−
∂
2
F
∂v
2
+ F =0.
Телеграфное уравнение принадлежит к классу основных гиперболиче
ских уравнений математической физики и достаточно хорошо изучено (см.,
например: Вебстер А., Сеге Г. Диференциальные уравнения в частных
производных математической физики. Часть I. М., Л.: ОНТИ, 1934. С.
233-240; Вебстер А., Сеге Г. Диференциальные уравнения в частных произ
водных математической физики. Часть II. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1934.
С. 92-101).
Так как преобразование Лежандра инволютивно
110
(см.,например,[40],
с. 59-61), то можно выразить переменные x
1
, x
2
, ω
1
через переменные X,
Y , Z, совершая еще раз это же преобразование:
x
1
=
∂Z
∂X
,x
2
= X
∂Z
∂X
+ Y
∂Z
∂Y
− Z, ω
1
=
∂Z
∂Y
.
110
Повторное применение преобразования Лежандра дает исходную функцию. Это свойство преобра-
зования Лежандра часто называют свойством взаимности.
Ю.Н. Радаев

Страницы