ВУЗ:
Составители:
7.2. Канонические координаты задачи о плоской пластической деформации 151
Полученный результат, помимо всего прочего, означает, что канониче-
ская переменная ω
1
(x
1
,x
2
) не может быть гармонической функцией, если
только траектории векторного поля n криволинейны. Этот же результат
следует из известного результата теории аналитических функций: при кон-
формном отображении круга посредством аналитической функции, произ-
водная которой в центре круга равна единице,
112
во всех случаях, за ис-
ключением тождественного отображения, получается область с большей,
чем у круга, площадью.
113
Аналогично может быть получена формула для кривизны линий, явля-
ющихся слоями поля n:
− 2κ
1
=
∆ω
3
|∇ω
3
|
. (7.2.14)
Распределение p вычисляется по формулам (опуская детали, сразу при-
ведем результат [41]):
p =2k ln
#
∂ω
1
∂x
1
2
+
∂ω
1
∂x
2
2
+ C =2k ln
∇ω
1
+ C, (7.2.15)
где
∂ω
1
∂x
1
=
∂(x
1
,x
2
)
∂(u, v)
−1
∂ω
1
∂u
∂x
2
∂v
−
∂ω
1
∂v
∂x
2
∂u
,
∂ω
1
∂x
2
=
∂(x
1
,x
2
)
∂(u, v)
−1
∂ω
1
∂v
∂x
1
∂u
−
∂ω
1
∂u
∂x
1
∂v
,
(7.2.16)
|∂(x
1
,x
2
)/∂(u, v)|— якобиан отображения (u, v) → (x
1
,x
2
), C есть постоян-
ная интегрирования.
Поскольку g
11
g
33
=1, то величина p вычисляется также в форме
p = −2k ln
#
∂ω
3
∂x
1
2
+
∂ω
3
∂x
2
2
+ C = −2k ln
∇ω
3
+ C (7.2.17)
или в терминах производящей функции Φ(x
1
,ω
1
) —
p = −k ln
T
2
(1 + R
2
)
R
2
S
2
+ C = −k ln(cos
2
θS
2
)+C. (7.2.18)
С помощью уравнений (7.2.17)и(7.2.11) можно заключить, что
κ = −
∇p
2k
·
∇ω
1
|∇ω
1
|
. (7.2.19)
112
Это означает, что малый элемент, локализованный в центре круга, сохраняет свою площадь при
отображении.
113
См., например: Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. II. Дальнейшее построение
теории. М.: Наука, 1968. С. 52-55.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- …
- следующая ›
- последняя »
