Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.2. Канонические координаты задачи о плоской пластической деформации 153
Как было показано выше, каноническая координата ω
1
не может быть (за
исключением того особого случая, когда траектории поля n прямолиней
ны) гармонической функцией, т.е., как позволяет заключить последняя
формула, поле n должно иметь ненулевой вихрь.
Наклон α изолинии распределения p к направлению s вычисляется,
следовательно, как
tgα =
κ
κ
1
. (7.2.21)
Отметим также формулу
|∇p| =2k
κ
2
+ κ
2
1
, (7.2.22)
и, кроме того,
|∇p| = k
#
(∆ω
1
)
2
|∇ω
1
|
2
+
(∆ω
3
)
2
|∇ω
3
|
2
. (7.2.23)
Изложенный выше метод точной линеаризации уравнений теории плос
кой пластической деформации воспроизводится в справочном издании Po-
lyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations.
Chapman&Hall/CRC. 2004. 840 pp. (см. pp. 471, 472). Иные методы лине
аризации уравнений плоской деформации изложены, например, в [6], c.
181-187; [7], с. 265, 266.
Чрезвычайно интересен последний из упомянутых методов линеариза
ции уравнений плоской пластической деформации. Обычным способом вво
дится функция напряжений:
σ
11
=
∂
2
F
∂x
2
2
,σ
12
= −
∂
2
F
∂x
1
∂x
2
,σ
22
=
∂
2
F
∂x
2
1
.
Подстановка этих соотношений в условие пластичности (1.2.21) приводит
к уравнению
∂
2
F
∂x
2
1
−
∂
2
F
∂x
2
2
2
+4
∂
2
F
∂x
1
∂x
2
2
=4k
2
,
которое после замены переменных
u = x
1
i + x
2
,v= x
1
+ x
2
i
представляется в форме
∂
2
F
∂u
2
∂
2
F
∂v
2
+
k
2
4
=0.
Можно показать, что функция
Z(u, v)=
∂F
∂v
Ю.Н. Радаев

Страницы