Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.3. Канонические координаты осесимметричной задачи 155
Уравнение (7.3.5) инвариантно относительно преобразования Ампера
(A. Ampere).
115
Вводя переменные по формулам
x
∗
3
= x
3
,ω
1
∗
= −
∂Ω
∂ω
1
, Ω
∗
=Ω− ω
1
∂Ω
∂ω
1
,
в обозначениях Монжа
P =
∂Ω
∂x
3
,Q=
∂Ω
∂ω
1
,
R =
∂
2
Ω
∂x
2
3
,S=
∂
2
Ω
∂x
3
∂ω
1
,T=
∂
2
Ω
∂(ω
1
)
2
имеем:
P
∗
= P, Q
∗
= ω
1
, Ω
∗
=Ω− ω
1
Q, R
∗
=
S
2
− RT
−T
,S
∗
=
−S
T
,T
∗
=
−1
T
и обратно
P = P
∗
,Q= −ω
1
∗
, Ω=Ω
∗
−ω
1
∗
Q
∗
,R=
R
∗
T
∗
− S
∗2
T
∗
,S=
S
∗
T
∗
,T=
−1
T
∗
.
Подстановка этих формул в уравнение (7.3.5) приводит к уравнению
2
∂Ω
∗
∂x
∗
3
∂
2
Ω
∗
∂(ω
1
∗
)
2
=
∂
2
Ω
∗
∂x
∗
3
∂ω
1
∗
2
−
∂
2
Ω
∗
∂x
∗
3
2
∂
2
Ω
∗
∂(ω
1
∗
)
2
∂
2
Ω
∗
∂x
∗
3
2
,
не отличимому по форме от (7.3.5).
Дискриминант характеристического уравнения для (7.3.5) в точности
равен
8[(R
2
+2P )(S
2
− RT ) − PS
2
].
Так как 2P = x
2
1
≥ 0, то гиперболичность уравнения (7.3.5) гарантирована
при выполнении условия
RT < 0,
а эллиптичность —
S
2
− RT < 0.
В плоскости x
1
,x
3
интегральные кривые поля n определяются уравне-
нием 1/2x
2
1
= ∂Ω(x
3
,ω
1
)/∂x
3
при фиксированном значении ω
1
.Еслиθ —
115
По поводу преобразования Ампера см. [45], с. 141, 142. Преобразование Ампера обладает свойством
взаимности (см. приложение к главам 1–8 по поводу основных свойств рассматриваемого преобразова-
ния). Дополнительно заметим, что уравнение (7.2.4) также инвариантно относительно преобразования
Ампера.
Ю.Н. Радаев

Страницы