Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7.3. Канонические координаты осесимметричной задачи 157
Если ввести обозначения:
Ξ=
1
2
ln(1 + p
2
) − ln |q| + arctg p,
Θ=
1
2
ln(1 + p
2
) − ln |q|−arctg p,
Ψ=lnu,
то соотношения вдоль характеристик (третьи уравнения систем (7.3.8)и
(7.3.9)) можно представить в форме:
d(Ξ − Ψ) + tg
Ξ − Θ
2
dΞ=0, (7.3.10)
d(Θ − Ψ) − tg
Ξ − Θ
2
dΘ=0. (7.3.11)
Эти уравнения симметричны относительно переменных Ξ, Θ: уравнение
(7.3.11) получается из уравнения (7.3.10) заменой Ξ на Θ и, соответственно,
Θ на Ξ. Ни одно из характеристических соотношений (7.3.10), (7.3.11)не
интегрируемо.
Следует отметить также, что симметрия соотношений вдоль характери-
стик здесь достигается вследствие перехода от физической плоскости ϕ =0
к плоскости переменных x
3
, ω
1
(соотношения (7.3.10), (7.3.11) справедливы
вдоль характеристических линий, расположенных в плоскости x
3
, ω
1
).
Уравнению (7.3.7) можно придать несколько более симметричную фор-
му, если изменить роль зависимых и независимых переменных: будем пола-
гать, что переменная u (которая по смыслу есть координата x
1
) является
независимой и, следовательно, ω
1
= ω
1
(x
1
,x
3
).
116
Введем обозначения Монжа:
P =
∂u
∂ω
1
,Q=
∂u
∂x
3
,R=
∂
2
u
∂(ω
1
)
2
,S=
∂
2
u
∂ω
1
∂x
3
,T=
∂
2
u
∂x
2
3
; (7.3.12)
˜
P =
∂ω
1
∂x
1
,
˜
Q =
∂ω
1
∂x
3
,
˜
R =
∂
2
ω
1
∂x
2
1
,
˜
S =
∂
2
ω
1
∂x
1
∂x
3
,
˜
T =
∂
2
ω
1
∂x
2
3
. (7.3.13)
Учитывая следующие соотношения между производными
R = −
˜
R
˜
P
3
,S=
˜
R
˜
Q −
˜
S
˜
P
˜
P
3
,T= −
˜
R
˜
Q
2
− 2
˜
S
˜
P
˜
Q +
˜
T
˜
P
2
˜
P
3
;
P =
1
˜
P
,Q= −
˜
Q
˜
P
,
(7.3.14)
116
До конца этого раздела изложение будет следовать статье: Радаев Ю.Н. Дополнительные теоремы
теории плоской и осесимметричной задачи математической теории пластичности// Вестник Самарско
го гос. университета. Естественнонаучная серия. №2(32). 2004. С. 41-61.
Ю.Н. Радаев

Страницы