Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

154
Глава 7. Канонические изостатические координаты пространственной, плоской и
осесимметричной задачи
необходимо удовлетворяет уравнению
∂Z
∂v
2
∂
2
Z
∂u
2
−
k
2
4
∂
2
Z
∂v
2
=0,
которое без труда приводится к линейному с помощью преобразования Ле-
жандра.
7.3. Канонические координаты осесимметричной зада-
чи
В случае осесимметричной задачи каноническое отображение (7.1.2)
можно представить в форме:
x
1
= f(ω
1
,ω
3
) cos ω
2
,x
2
= f(ω
1
,ω
3
)sinω
2
,x
3
= h(ω
1
,ω
3
). (7.3.1)
При этом система (7.1.3) преобразуется к виду:
114
∂f
∂ω
1
∂f
∂ω
3
+
∂h
∂ω
1
∂h
∂ω
3
=0,
∂f
∂ω
1
∂h
∂ω
3
−
∂f
∂ω
3
∂h
∂ω
1
f = ±1.
(7.3.2)
Совершим далее замену f
2
=2H, тогда второе уравнение системы
(7.3.2) позволяет утверждать, что трехмерное каноническое отображение
(7.3.1) порождает плоское каноническое отображение
1
2
x
2
1
= H(ω
1
,ω
3
),x
3
= h(ω
1
,ω
3
). (7.3.3)
Введем производящую функцию Ω(x
3
,ω
1
) канонического отображения
(7.3.3):
H =
∂Ω(x
3
,ω
1
)
∂x
3
,ω
3
=
∂Ω(x
3
,ω
1
)
∂ω
1
. (7.3.4)
Формулы (7.3.4) соответствуют положительному знаку во втором урав-
нении (7.3.2).
Второе уравнение системы (7.3.2) удовлетворяется тождественно в силу
(7.3.4). Первое уравнение системы (7.3.2) позволяет получить следующее
нелинейное уравнение относительно производящей функции:
2
∂Ω
∂x
3
∂
2
Ω
∂(ω
1
)
2
=
∂
2
Ω
∂x
3
∂ω
1
2
−
∂
2
Ω
∂x
2
3
∂
2
Ω
∂(ω
1
)
2
∂
2
Ω
∂x
2
3
. (7.3.5)
114
Ясно, что координатные линии, соответствующие криволинейным координатам ω
1
, ω
3
, есть взаим-
но ортогональные изостаты, расположенные в меридиональной плоскости ω
2
=const.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы