Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

30 Введение
но возможного значения, причем скольжение происходит в направлении
действия максимального касательного напряжения так, что оно совершает
положительную работу.
В работах Д.Д. Ивлева было установлено, что при условии полной пла-
стичности (т.е. когда напряженное состояние соответствует ребру призмы
Кулона—Треска) уравнения пространственной задачи теории идеальной
пластичности являются статически определимыми и принадлежат к ги-
перболическому типу. Нормали к характеристическим поверхностным эле-
ментам уравнений статики при этом образуют конус, касающийся площа-
док максимальных касательных напряжений, построенных в вершине кону-
са. Характеристическими будут также поверхностные элементы, нормали
к которым ортогональны главной оси тензора напряжений, соответствую-
щей наибольшему (наименьшему) главному напряжению. Кинематические
уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности в слу-
чае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона—
Треска, также гиперболичны и имеют точно такие же директоры характе-
ристических поверхностных элементов, как и статические уравнения.
29
Было таким образом доказано, что именно условие полной пластич-
ности и только оно позволяет сформулировать общую теорию идеальной
пластичности с единым математическим аппаратом статически определи-
мых уравнений гиперболического типа, соответствующим сдвиговой при-
роде идеально пластического деформирования.
30
29
Этот результат был получен в работе [20]. Классическое изложение теории пространственной за
дачи теории идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы
КулонаТреска, имеется в монографии [11], с. 205-246.
30
Эта точка зрения разделяется далеко не всеми. Так, А.А. Вакуленко и Л.М. Качанов полагают, что
доводы физического характера в пользу схемы полной пластичности ”продиктованы скорее заманчивой
простотой математического анализа, нежели существом вопроса” (см.: Вакуленко А.А., Качанов Л.М.
Теория пластичности/ В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. Механика деформируемого твердого
тела. М.: Наука, 1972. С. 100). Тем не менее они замечают, что решения, полученные по схеме пол
ной пластичности, могут иметь несомненный интерес, полемизируя при этом с Р. Хиллом, критически
оценившим условие полной пластичности ХаараКармана как ”искусственное и нереальное условие те
кучести” (см.: Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. С. 320, 321).
Не вызывает возражений высказываемая ими мысль о том, что ценность того или иного решения про
странственной задачи устанавливается возможностью либо построить согласованное кинематически
допустимое поле, либо продолжить поле напряжений в жесткие зоны, не нарушая условия текучести.
В противном случае вопрос о значимости решения остается открытым. Ясно, что исключительную
ценность представляют полные решения, когда удается построить согласованное кинематически до
пустимое поле и продолжить поле напряжений в жесткие зоны, не нарушая условия текучести. Та
ким образом, неполные решения обладают лишь относительной ценостью, а полные абсолютной. На
практике, однако, чаще всего удается построить неполное поле напряжений (поле напряжений в пла
стической зоне) и возникает проблема его продолжения в жесткую зону так, чтобы в жесткой зоне
и на границе раздела выполнялись условия равновесия и не превышался предел текучести. Общая
процедура такого продолжения (или хотя бы существование такого продолжения) для сколько-нибудь
широкого класса задач в настоящее время неизвестны. Учитывая все сказанное, нетрудно заключить,
что по большому счету неполные решения с теоретической точки зрения вообще никакой ценности не
представляют. Однако их практическая ценность часто может быть очень высокой. Так, или иначе, но
большинство прикладных задач решены по жесткопластической схеме не полно.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы