ВУЗ:
Составители:
11.3. Определение характеристик пространственных уравнений с помощью условия
t-гиперболичности
303
Таким образом, нормальная форма Коши относительно частных про
изводных
∂f
j
∂γ
1
(j =1, 2, 3) при условиях
∂γ
1
∂ω
2
=0и
∂γ
1
∂ω
1
=0существует.
Это обстоятельство не является неожиданным, поскольку в этом случае за
мена переменных сводится просто к трансформации третьей координаты
γ
1
= γ
1
(ω
3
), а по третьей координате система уравнений (11.1.3)нормаль
на.
11.3. Определение характеристик пространственных урав
нений с помощью условия t-гиперболичности
Следуя [7], рассмотрим систему линейных дифференциальных уравне
ний в частных производных
m
j=1
|k|≤n
j
L
k
0
k
1
...k
n
sj
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)
∂
|k|
u
j
∂t
k
0
∂x
k
1
1
∂x
k
2
2
...∂x
k
n
n
= f
s
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).
(s =1, 2, ..., m; |k| = k
0
+ k
1
+ ... + k
n
)
Эта система называется t-гиперболической (или строго гиперболической
относительно переменной t) в точке (t
∗
,x
∗
1
,x
∗
2
, ..., x
∗
n
), если для любых ве
щественных α
1
, α
2
, ... , α
n
, сумма квадратов которых положительна
α
2
1
+ α
2
2
+ ... + α
2
n
> 0,
уравнение
det
|k|=n
j
L
k
0
k
1
...k
n
sj
(t
∗
,x
∗
1
,x
∗
2
, ..., x
∗
n
)λ
k
0
α
k
1
1
α
k
2
2
...α
k
n
n
=0
имеет только действительные и различные корни λ.
Для линейных t-гиперболических систем уравнений в частных произ
водных доказана корректность постановки задачи Коши с начальными дан
ными, выставленными при t = const.
Заметим, что многие важные уравнения математической физики име
ют характеристическую форму с кратными корнями. Можно даже сказать,
что условие строгой гиперболичности очень редко выполняется для линей
ных систем первого порядка.
Пусть имеется нелинейная система дифференциальных уравнений в
частных производных первого порядка (t = x
0
)
F
s
(p
ij
,u
j
,x
i
)=0 (s =1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., m; i =0, 1, ..., n),
p
ij
=
∂u
j
∂x
i
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- …
- следующая ›
- последняя »
