Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 334 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

334 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
Определитель g в соответствии с формулами (12.3.2), а также представ-
лениями (см. (12.4.42))
G
1
(ξ
1
)=C
1
ξ
16α+2γω+γ(µ+2)−2
,G
2
(ξ
3
)=C
2
ξ
36β+2δω+δ(µ+2)−2
, (12.5.2)
вычисляется в виде
g = Cξ
16α+2γω−2+γ(2+µ)
ξ
36β+2δω−2+δ(2+µ)
. (12.5.3)
Преобразуем выражение (12.5.1). Для этого воспользуемся первым урав-
нением системы (12.4.43), разрешим его относительно ρ
. Дискриминант
квадратного относительно ρ
уравнения есть
D =
ξ
2
(αδ − βγ)
2
ρ
4
cos
2
ι
(αδ − βγ)
4
ρ
6
cos
2
ι − 4Cγ
2
δ
2
ξ
µ−ω+2
. (12.5.4)
Для дальнейших рассуждений удобно ввести следующее обозначение:
D
∗
=(αδ − βγ)
4
ρ
6
cos
2
ι − 4Cγ
2
δ
2
ξ
µ−ω+2
.
Тогда система уравнений (12.4.43) примет нормальную форму
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
ρ
= −
αδ + βγ + γδω
2γδ
ρ
ξ
±
√
D
∗
2γδξ(αδ −βγ)ρ
2
cos ι
,
ι
=sign(αδ − βγ)
√
Cξ
(µ−ω)/2
(αδ −βγ)ρ
3
cos ι
.
(12.5.5)
Отметим, что из определения автомодельной переменной ξ следует, что
ξ
1
= ξ
1/γ
ξ
3 −δ/γ
. Устранив таким образом переменную ξ
1
и учитывая систе-
му уравнений (12.5.5), на основании которой можно исключить производ-
ные ρ
, ι
, запишем соотношение (12.5.1) для g
33
вформе
2γ
2
g
33
= ξ
32(β−αδ/γ−1)
ξ
2α/γ+ω
(αδ − βγ)
2
ρ
2
∓
√
D
∗
ρ cos ι
. (12.5.6)
После этого, определив g
33
, можно следующим образом найти выраже-
ние для σ
3
. Из анализа первых двух уравнений системы (12.3.1)можно
сделать вывод о том, что сумма σ
3
/2k +ln
√
g
33
может зависеть только от
координаты ξ
3
:
σ
3
2k
+ln
√
g
33
= f(ξ
3
). (12.5.7)
Тогда последнее уравнение этой системы позволяет заключить, что
∂
∂ξ
3
'
f(ξ
3
) − ln
√
g
(
=0. (12.5.8)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы