Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 336 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

336 Глава 12. Автомодельные решения осесимметричной задачи теории пластичности
где для D
∗
имеет место равенство:
D
∗
=16α
4
ρ
6
cos
2
ι − 4C.
Соотношение (12.5.12) с учетом сделанных выше предположений о зна-
чениях показателей перепишем в виде
σ
3
− 2kα ln
ξ
3
= −k ln
ξ
2α
!
2α
2
ρ
2
∓
√
D
∗
2ρ cos ι
"
+ const, (12.5.14)
а систему уравнений (12.5.5), ограничившись выбором положительных зна-
ков, —
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
ρ
=
√
D
∗
4αξρ
2
cos ι
,
ι
=
√
C
2|α|ξρ
3
cos ι
.
(12.5.15)
Для рассматриваемого частного случая значения параметров l
1
и l
2
вы-
числяются как
l
1
=4α
4
/C, l
2
=0.
Ясно, что l
1
> 0, и уравнение (12.4.45) для переменных u, ¯v будет иметь
следующий вид:
d¯v
du
= ±3
1 −
¯v
2
1 − u
2
. (12.5.16)
Проинтегрируем это уравнение (выбрав положительный знак) числен-
но, задавая при ¯v =0.1 значения u на отрезке [−0.8, 0.8] с шагом 0.1.Произ-
ведем затем обратные замены переменных. В результате получим функци-
ональные зависимости ρ = ρ(ι) вдоль каждой из 17 интегральных кривых
уравнения (12.5.16) на плоскости u, ¯v. Используя второе уравнение систе-
мы (12.5.15) и разделяя в нем переменные, находим зависимости ξ = ξ(ι)
(или ι = ι(ξ)) вдоль упомянутых интегральных кривых. В итоге можно
найти зависимость разности k
−1
σ
3
−2α ln
ξ
3
от полярного угла ι в мериди-
ональной плоскости. Графические построения, соответствующие значению
показателя α = −1/2, приводятся на рис. 12.8, если ¯v>0, и рис. 12.9, если
¯v<0.Если¯v =0, то необходимо ρ =0и, следовательно, производные ρ
и
ι
неограниченно возрастают. Зависимости k
−1
σ
3
−2α ln
ξ
3
от автомодель-
ной переменной ξ, соответствующие значению показателя α = −1/2,даны
на рис. 12.10, если ¯v>0, и рис. 12.11, если ¯v<0.
Ясно, что (см. (12.5.12)), положив
4β +2δω +2αδγ
−1
+ δ(2 + µ)=0, (12.5.17)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы