Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Введение 35
ных подалгебр для пространственной, плоской и осесимметричной задач.
Оптимальные системы позволяют найти ряд новых решений трехмерных
уравнений теории пластичности инвариантно-групповой природы. Приме
нение групповых методов (особенно это касается пространственной задачи)
требует выполнения огромного объема рутинных преобразований и вычис
лений, которые были проведены нами с помощью пакета символьных вы
числений Maple V. Чтобы оценить примерный объем вычислительной ра
боты заметим, что лишь для одной естественной конечномерной подалгеб
ры алгебры симметрий, соответствующей группе симметрий трехмерных
уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности, оп
тимальная система одномерных подалгебр насчитывает один трехпарамет
рический элемент, 9 двухпараметрических, 45 однопараметрических эле
ментов и 95 индивидуальных элементов.
Групповой анализ дифференциальных уравнений исторически разви
вался как реализация принципа простоты. Сущность указанного принци
па заключается в двух важнейших аспектах. Во-первых, в том, что урав
нения и системы дифференциальных уравнений математической физики
должны быть достаточно просты для того, чтобы их можно было анализи
ровать и решать. Групповой анализ выдвигает здесь в качестве критерия
простоты условие того, чтобы система дифференциальных уравнений, мо
делирующая тот или иной физический процесс или состояние, допускала
группу с определенными свойствами или, когда по каким-то причинам ока
зывается невозможным точно указать такие свойства, максимально ши
рокую группу. Во-вторых, групповой анализ a priori позволяет находить
лишь такие решения, построение которых в некотором смысле проще по
сравнению с построением общего решения.
35
После вычисления полной группы непрерывных симметрий системы
дифференциальных уравнений, одной из основных задач группового ана
лиза является исследование действия допускаемой данной системой диф
ференциальных уравнений группы на множестве решений этой системы.
Допускаемая группа детерминирует алгебраическую структуру на множе
стве решений, которую можно использовать, в частности, для определения
тех классов решений, отыскание которых в каком-либо смысле еще про-
ще и эффективнее, чем разыскание полного класса инвариантно-группо
вых решений. Здесь мы видим пример рекурсивного применения принципа
простоты, результатом которого является понятие об оптимальной систе
ме подалгебр алгебры Ли. На практике дело сводится к установлению по
35
Речь идет о решениях инвариантно-групповой природы, которые в случае систем дифференци
альных уравнений с частными производными определяются в результате интегрирования соответству
ющих редуцированных (по числу независимых переменных) систем. Именно в этом смысле построе
ние инвариантно-групповых решений оказывается проще. Например, все инвариантно-групповые реше
ния уравнений пластического плоского деформированного состояния выражаются через единственную
квадратуру, которая вычисляется в элементарных функциях.
Ю.Н. Радаев

Страницы