Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 356 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

356
Глава 13. Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи
математической теории пластичности
т.е. инвариант есть корень инфинитезимального оператора группы.
Учитывая (13.2.31), это условие инвариантности можно представить в
форме уравнения в частных производных первого порядка:
(3(C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
6
)
∂I
∂υ
1
+ (3(C
1
− C
2
)υ
2
+ C
7
)
∂I
∂υ
2
+
+2C
1
f
∂I
∂f
+(2C
1
h + C
5
)
∂I
∂h
=0,
(13.3.1)
где I(υ
1
,υ
2
,f,h) — инвариант системы дифференциальных уравнений (13.1.4).
Для его решения рассмотрим характеристическую систему
dυ
1
3(C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
6
=
dυ
2
3(C
1
− C
2
)υ
2
+ C
7
=
df
2C
1
f
=
dh
2C
1
h + C
5
, (13.3.2)
три независимых первых интеграла которой без труда находятся и позво-
ляют определить базисные инварианты группы симметрий системы диф-
ференциальных уравнений (13.1.4)вформе
I
1
=
(3(C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
6
)
1/3/(C
1
+C
2
)
(3(C
1
− C
2
)υ
2
+ C
7
)
1/3/(C
1
−C
2
)
,
I
2
=
f
(3(C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
6
)
C
1
/3/(C
1
+C
2
)
(3(C
1
− C
2
)υ
2
+ C
7
)
C
1
/3/(C
1
−C
2
)
,
I
3
=
(2C
1
h + C
5
)
(3(C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
6
)
C
1
/3/(C
1
+C
2
)
(3(C
1
− C
2
)υ
2
+ C
7
)
C
1
/3/(C
1
−C
2
)
.
(13.3.3)
Поскольку I(I
1
,I
2
,I
3
),гдеI — произвольная функция своих аргумен-
тов, представляет собой общее решение уравнения (13.3.1), то I(I
1
,I
2
,I
3
) —
наиболее общая форма инварианта группы симметрий системы дифферен-
циальных уравнений (13.1.4).
Инвариантными решениями системы дифференциальных уравнений от-
носительно группы преобразований (13.2.1) называются решения этой си-
стемы, которые переводятся этой группой преобразований сами в себя. Дру-
гими словами, решение системы дифференциальных уравнений (13.1.4),
которое мы представим в неявной форме как
Φ
1
(υ
1
,υ
2
,f,h)=0, Φ
2
(υ
1
,υ
2
,f,h)=0, (13.3.4)
инвариантно относительно группы преобразований (13.2.1), если
Φ
1
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h)=0, Φ
2
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h)=0, (13.3.5)
где, как обычно, переменные υ
1
, υ
2
, f, h и ˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h связаны формулами
группового преобразования (13.2.1). Кроме того, мы предполагаем отлич-
ным от нуля якобиан ∂(Φ
1
, Φ
2
)/∂(f,h).
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы