Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 357 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

13.3. Инвариантные решения уравнений осесимметричной задачи 357
С геометрической точки зрения каждому инвариантному решению (13.3.4)
соответствует инвариантное многообразие размерности 2 в четырехмерном
пространстве, арифметизованном с помощью координат υ
1
, υ
2
, f, h.
Ясно, что достаточное условие инвариантности решения (13.3.4)систе-
мы дифференциальных уравнений (13.1.4) заключается в том, чтобы функ-
ции Φ
1
(υ
1
,υ
2
,f,h), Φ
2
(υ
1
,υ
2
,f,h) были инвариантами группы симметрий
этой системы, т.е.
(ς ·∂)Φ
1
=0,
(ς ·∂)Φ
2
=0.
Обратное утверждение неверно, однако можно доказать (см., например,
[5, с. 244, 245], теорема о представлении), что если решение системы диф-
ференциальных уравнений (13.1.4), определяемое неявно в форме (13.3.4),
инвариантно, то найдутся инварианты J
1
, J
2
группы симметрий этой систе-
мы такие, что то же самое решение будет задаваться неявно уравнениями
J
1
(I
1
,I
2
,I
3
)=0,J
2
(I
1
,I
2
,I
3
)=0 (13.3.6)
в том смысле, что переменные υ
1
, υ
2
, f, h будут удовлетворять системе
уравнений (13.3.4) тогда и только тогда, когда они будут удовлетворять
системе уравнений (13.3.6). Такую форму задания инвариантного решения
можно назвать канонической.
Заметим, что в рассматриваемом случае системы дифференциальных
уравнений (13.1.4) функции J
1
, J
2
, задающие каноническую форму инва-
риантного решения, будут определяться из системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.
201
Итак, лишь те решения системы дифференциальных уравнений (13.1.4),
которые задаются неявно в форме двух зависимостей между базисными
инвариантами I
1
, I
2
, I
3
, являются инвариантными. В частности, для рас-
сматриваемой системы уравнений, как мы сейчас увидим, имеются инвари-
антные решения вида
I
2
− Φ(I
1
)=0,I
3
− Ψ(I
1
)=0,
201
Как известно указанная система обыкновенных дифференциальных уравнений может вообще не
иметь решений, и в этом случае инвариантного решения существовать не будет (см., например, [5,с.
254] об условном существовании инвариантно-групповых решений).
Ю.Н. Радаев

Страницы