Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 363 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

14.2. Построение оптимальной системы первого порядка Θ
1
363
только такую форму:
(ς ·∂)=C
1
(ς
1
· ∂)+C
2
(ς
2
· ∂)+C
3
(ς
3
· ∂)+C
4
(ς
4
· ∂)+C
5
(ς
5
· ∂), (14.2.1)
где (ς
i
· ∂) — операторы вида
(ς
1
· ∂)=3υ
1
∂
∂υ
1
+3υ
2
∂
∂υ
2
+2f
∂
∂f
+2h
∂
∂h
,
(ς
2
· ∂)=3υ
1
∂
∂υ
1
− 3υ
2
∂
∂υ
2
,
(ς
3
· ∂)=
∂
∂υ
1
,
(ς
4
· ∂)=
∂
∂υ
2
,
(ς
5
· ∂)=
∂
∂h
.
(14.2.2)
Здесь C
j
— произвольные постоянные, (ς
j
·∂) — базисные инфинитезималь-
ные операторы, а переменные υ
1
, υ
2
введены вместо ω
1
, ω
3
в целях более
компактного представления уравнений. Заметим, что инфинитезимальные
операторы (ς
3
· ∂), (ς
4
· ∂), (ς
5
· ∂) определяют сдвиги изостатических коор-
динат υ
1
, υ
2
и вертикальной координаты h. Оператор (ς
2
·∂) соответствует
растяжению первой изостатической координаты в отношении l и одновре-
менному сжатию второй изостатической координаты в отношении l
−1
,а
(ς
1
·∂) — одновременному растяжению всех четырех координат в отношени-
ях l
3/2
, l
3/2
, l, l. Ниже нам иногда будет удобно не включать множитель 3 в
выражение для базисного оператора (ς
2
·∂). Впрочем, то же самое касается
и других базисных операторов: в некоторых случаях оказывается удобным
использовать их ”растянутые” аналоги.
Так как каждый инфинитезимальный оператор группы симметрий си-
стемы (14.1.4) выражается линейно через операторы (ς
i
· ∂), то множество
операторов образует пятимерное линейное пространство с базисом из ин-
финитезимальных операторов (14.2.2).
Чтобы наделить пространство инфинитезимальных операторов алгеб-
раической структурой, вводится билинейная операция коммутации опера-
торов (скобка Пуассона операторов) [3, c. 87] согласно
[(ς
i
· ∂), (ς
j
· ∂)] = [ς
i
,ς
j
] · ∂, (14.2.3)
где операция коммутации касательных векторных полей [ς
i
,ς
j
], в свою оче-
редь, определяется как:
[ς
i
,ς
j
]=(ς
i
· ∂)ς
j
− (ς
j
· ∂)ς
i
. (14.2.4)
Ю.Н. Радаев

Страницы