Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 365 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

14.2. Построение оптимальной системы первого порядка Θ
1
365
откуда на основании (14.2.1), (14.2.5)и(14.2.6) находим:
ad(˜ς) <ς>=(−3E
3
C
1
− 3E
3
C
2
+(3E
1
+3E
2
)C
3
)ς
3
+
+(−3E
4
C
1
+3E
4
C
2
+(3E
1
− 3E
2
)C
4
)ς
4
+(−2E
5
C
1
+2E
1
C
5
)ς
5
,
(14.2.9)
где E
i
коэффициенты в разложении ˜ς = E
1
ς
1
+ ...+ E
5
ς
5
.
Понятие присоединенного отображения интересует нас лишь в связи
с тем, что оно используется при конструировании однопараметрической
группы внутренних автоморфизмов алгебры Ли L касательных векторных
полей. Техника построения однопараметрической группы внутренних авто
морфизмов алгебры Ли L приводится, например, в [3, c. 188-190].
Чтобы найти группу внутренних автоморфизмов алгебры Ли L,необ
ходимо решить уравнение Ли [3, c. 188]:
∂ς
∂τ
= ad(˜ς) <ς
>=[ς
, ˜ς] (14.2.10)
с начальным условием
ς
(0) = ς. (14.2.11)
Поясним, что ς
касательное векторное поле, в которое переходит каса
тельное векторное поле ς под действием однопараметрической группы пре
образований, заданной уравнением Ли.
Сформулированная задача Коши имеет следующее решение:
ς
=exp(τad(˜ς)) <ς> . (14.2.12)
Можно показать, что преобразования (14.2.12) являются автоморфизмами
алгебры Ли L. Они называются внутренними автоморфизмами.
Заметим, что в терминах инфинитезимальных операторов уравнение
(14.2.10) имеет вид
∂
∂τ
(ς
· ∂)=[(ς
· ∂), (˜ς · ∂)],
а начальное условие (14.2.11)
(ς
· ∂)|
τ=0
=(ς · ∂).
Решение этой задачи Коши дается формулой Хаусдорфа
(ς
· ∂)=(ς · ∂)+τ[(ς · ∂), (˜ς ·∂)] +
τ
2
2!
[[(ς · ∂), (˜ς · ∂)], (˜ς ·∂)] + ... .
Достаточно построить однопараметрические группы автоморфизмов,
порождаемые базисными векторами ˜ς = ς
j
(j = 1, 5). Подставляя в (14.2.10)
выражение (14.2.9), получим для каждого базисного вектора ς
j
(j = 1, 5)
Ю.Н. Радаев

Страницы