Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 366 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

366
Глава 14. Инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений
осесимметричной задачи математической теории пластичности
соответствующую группу внутренних автоморфизмов, действующую на ко-
эффициентах C
i
в разложении общего инфинитезимального оператора (14.2.1),
определяемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений [3,
c. 189]:
1)
˙
C
1
=0,
˙
C
2
=0,
˙
C
3
=3C
3
,
˙
C
4
=3C
4
,
˙
C
5
=2C
5
;
2)
˙
C
1
=0,
˙
C
2
=0,
˙
C
3
=3C
3
,
˙
C
4
= −3C
4
,
˙
C
5
=0;
3)
˙
C
1
=0,
˙
C
2
=0,
˙
C
3
= −3C
1
− 3C
2
,
˙
C
4
=0,
˙
C
5
=0;
4)
˙
C
1
=0,
˙
C
2
=0,
˙
C
3
=0,
˙
C
4
= −3C
1
+3C
2
,
˙
C
5
=0;
5)
˙
C
1
=0,
˙
C
2
=0,
˙
C
3
=0,
˙
C
4
=0,
˙
C
5
= −2C
1
.
(14.2.13)
Здесь дифференцирование (обозначаемое точкой) производится по пара-
метру τ. Решая каждую из пяти выписанных систем с начальными данны-
ми
C
1
|
τ=0
= C
1
,C
2
|
τ=0
= C
2
,C
3
|
τ=0
= C
3
,C
4
|
τ=0
= C
4
,C
5
|
τ=0
= C
5
,
(14.2.14)
в результате определим, как действуют на коэффициентах C
i
однопара-
метрические группы автоморфизмов, соответствующие базисным касатель-
ным векторным полям ˜ς = ς
j
(j = 1, 5):
1) C
1
= C
1
,C
2
= C
2
,C
3
= C
3
e
3τ
,C
4
= C
4
e
3τ
,C
5
= C
5
e
2τ
;
2) C
1
= C
1
,C
2
= C
2
,C
3
= C
3
e
3τ
,C
4
= C
4
e
−3τ
,C
5
= C
5
;
3) C
1
= C
1
,C
2
= C
2
,C
3
= C
3
− 3τC
1
− 3τC
2
,C
4
= C
4
,C
5
= C
5
;
4) C
1
= C
1
,C
2
= C
2
,C
3
= C
3
,C
4
= C
4
− 3τC
1
+3τC
2
,C
5
= C
5
;
5) C
1
= C
1
,C
2
= C
2
,C
3
= C
3
,C
4
= C
4
,C
5
= C
5
− 2τC
1
.
(14.2.15)
Здесь параметр τ для каждой из однопараметрических групп изменяется
независимо.
Построение оптимальной системы одномерных подалгебр алгебры сим-
метрий системы дифференциальных уравнений (14.1.4) мы осуществим с
помощью ”наивного” подхода, состоящего в том, что общий инфинитези-
мальный оператор (14.2.1) (точнее коэффициенты C
i
в его разложении по
базисным операторам) подвергается различным преобразованиям из спис-
ка (14.2.15) так, чтобы ”упростить” его настолько, насколько это представ-
ляется возможным (в частности, стремясь привести к нулевому значению
как можно больше коэффициентов C
i
в(14.2.1)). Далее мы выбираем из
каждого класса инфинитезимальных операторов, переводящихся друг в
друга автоморфизмами (1)–(5), по одному простейшему представителю и
формируем оптимальную систему одномерных подалгебр Θ
1
.
При поиске указанных простейших представителей, кроме однопарамет-
рических групп автоморфизмов, будем применять также преобразование,
заключающееся в умножении простейшего инфинитезимального оператора
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы