Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 370 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

370
Глава 14. Инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений
осесимметричной задачи математической теории пластичности
где d
1
=0, d
2
=0, a
1
, a
2
, a
3
есть произвольные постоянные, а также с
помощью применения дискретных симметрий (14.2.29).
14.3.1. Критерий инвариантности (ς
1
+ Cς
2
) ·∂I =0приводит к харак-
теристической системе
dυ
1
3(1 + C)υ
1
=
dυ
2
3(1 − C)υ
2
=
df
2f
=
dh
2h
. (14.3.2)
В случае C =1, C = −1 по ее первым интегралам базисные инварианты
находятся в форме
I
1
=
(υ
1
)
1/3/(1+C)
(υ
2
)
1/3/(1−C)
,
I
2
=
f
(υ
1
)
1/3/(1+C)
(υ
2
)
1/3/(1−C)
,I
3
=
h
(υ
1
)
1/3/(1+C)
(υ
2
)
1/3/(1−C)
.
(14.3.3)
Базисные инварианты такого типа были рассмотрены в работе [1] (ес-
ли принять, что α =1/3/(1 + C), β =1/3/(1 − C)) и им соответствуют
автомодельные решения, определяемые системой обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
$
[Ψ(λ)Φ
(λ) − Φ(λ)Ψ
(λ)] Φ(λ)=λ
3C−1
,
[Φ(λ)]
2
+
1
4
[Ψ(λ)]
2
− [Φ
(λ)λ]
2
−
1
4
[Ψ
(λ)λ]
2
=0,
(14.3.4)
где
λ =(α
−1
υ
1
)
α
(β
−1
υ
2
)
−β
,
Φ(λ)=(α
−1
υ
1
)
−α
(β
−1
υ
2
)
−β
f,
Ψ(λ)=2(α
−1
υ
1
)
−α
(β
−1
υ
2
)
−β
h.
Если следовать [1], то λ есть автомодельная переменная υ, а система (14.3.4)
совпадает с системой (3.8) из указанной работы, если в этой последней си-
стеме положить υ = λ, a =3C, b =2.
Система уравнений (14.3.4) заменой неизвестных функций
Φ(λ)=λ
C
ρ cos ι, Ψ(λ)=λ
C
2ρ sin ι (14.3.5)
приводится к системе уравнений
−2λρ
3
ι
cos ι =1,
(C
2
− 1)ρ
2
+2Cλρρ
+ λ
2
(ρ
)
2
+ λ
2
(ρι
)
2
=0.
(14.3.6)
Выражая из первого уравнения системы (14.3.6) переменную λ и подстав-
ляя во второе уравнение, получим, что зависимость от переменной λ будет
устранена. С помощью еще одной замены W =lnρ приходим к уравнению
4(C
2
− 1)e
6W
cos
2
ι +4Ce
3W
dW
dι
cos ι +
dW
dι
2
+1=0. (14.3.7)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы