Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 371 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

14.3. Инвариантные решения, соответствующие оптимальной системе одномерных
подалгебр Θ
1
371
Это уравнение было изучено в работе [2] (см. уравнение (43) на с. 127) и
ему соответствуют следующие значения постоянных l
1
и l
2
: l
1
= −4(C
2
−1),
l
2
= −4C.
Производя далее замены u =sinι и w = −
e
−3W
3
, приходим к уравнению
dw
du
2
= l
1
+ l
2
dw
du
−
9w
2
1 − u
2
. (14.3.8)
В случае C =1базисные инварианты есть
I
1
= υ
2
,I
2
=
f
3
√
υ
1
,I
3
=
h
3
√
υ
1
. (14.3.9)
Будем искать решение в форме
f =
3
√
υ
1
F (υ
2
),h=
3
√
υ
1
H(υ
2
). (14.3.10)
Первое уравнение системы (14.1.4) тогда приводится к виду
F
dF
dυ
2
+ H
dH
dυ
2
=0, (14.3.11)
а второе —
1
3
F
dH
dυ
2
−
dF
dυ
2
H
F =1. (14.3.12)
Из уравнения (14.3.11) следует
[F (υ
2
)]
2
+[H(υ
2
)]
2
= C
1
, (14.3.13)
где C
1
— произвольная положительная постоянная. Исключая в (14.3.12)
функцию F с помощью (14.3.13), получим
(C
1
− [H(υ
2
)]
2
)
dH(υ
2
)
dυ
2
−
1
2
d(C
1
− [H(υ
2
)]
2
)
dυ
2
H(υ
2
)=3 (14.3.14)
или
dH
dυ
2
=
3
C
1
. (14.3.15)
Интегрируя (14.3.15) и подставляя в (14.3.13)и(14.3.10), получим точ-
ное решение системы уравнений (14.1.4):
f =
3
√
υ
1
#
C
1
−
3
C
1
υ
2
+ C
2
2
,h=
3
√
υ
1
3
C
1
υ
2
+ C
2
. (14.3.16)
Ю.Н. Радаев

Страницы